Académico de la Facultad de Matemáticas UC publica en Annals of Mathematics

El profesor Urzúa, explica que "el resultado principal del paper es acerca de geografía de superficies de tipo general. En geometría compleja, una superficie se define como el conjunto solución en los números complejos de ciertos polinomios en varias variables, tal que geométricamente alrededor de cada punto vemos 4 dimensiones reales. Para un posible matemático lector, una superficie es una variedad topológica de dimensión 4, compacta y orientable, la cual está localmente definida por soluciones complejas de polinomios. El adjetivo "de tipo general" significa todas las posibles superficies salvo un conjunto preciso conocido.

Estas superficies de tipo general poseen cierto invariante fundamental el cual es un número racional positivo. Es decir, si dos superficies son equivalentes, entonces este número es el mismo para ambas. Los valores que puede tomar están teoréticamente comprendidos entre 0,2 y 3. El 0,2corresponde a la cota de Castelnuovo (1905), y el 3 es la cota de Bogomolov-Miyaoka-Yau (1977). Una pregunta geográfica natural es que valores toma este invariante entre 0,2 y 3.

Una superficie se dice simplemente conexa si todo camino continuo que parte y termina en un mismo punto se puede continuamente colapsar a dicho punto. Superficies simplemente conexas se pueden considerar como bloques fundamentales para construir otros tipo de superficies. Luego, una pregunta central es como se distribuye este invariante para superficies de tipo general simplemente conexas.

La pregunta emergió de la mano de la cota de Bogomolov-Miyaoka-Yau. Por un lado definió los límites, pero también se demostró que el valor 3 sólo es alcanzado por superficies no simplemente conexas. En los 80 y 90 se trató de rellenar lo más posible el rango 0,2 - 3, llegando a poblar densamente lo comprendido entre 0,2 y 2,7. Alrededor del 2009, usando nueva tecnología, se logró mejorar la cota superior a 71/26 (más menos 2,7307). Al 2014, la zona comprendida entre 71/26 y 3 estaba completamente despoblada.

El resultado principal del paper fue demostrar que superficies de tipo general simplemente conexas son densas en el intervalo faltante. En efectos demostramos densidad entre 2 y 3 para los dos posibles tipos topológicos dentro de las simplemente conexas. Además demostramos densidad en el intervalo 1 y 3 para cada posible primer número de Betti, el cual corresponde a otro invariante topológico fino de una superficie".