Taller de Iniciación Científica: Estudiantes de pregrado presentarán sus tesinas

Tema: “Método de Chabauty Coleman”

Abstract: Chabauty probó que bajo ciertas condiciones geométricas una variedad solo puede tener finitos puntos racionales. Años más tarde Coleman se dio cuenta que la demostración de Chabauty se podía hacer efectiva y entrego una cota para la cantidad de puntos racionales que en muchos casos es efectiva. En esta charla presentamos las principales ideas de estos trabajos, algunas extensiones de estos resultados y un par de aplicaciones.

Profesor guía: Héctor Pastén

Hora de presentación: 09:00 horas

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Expone: Rocío Sepúlveda Manzo

Tema: “Valores de la función dseta de Riemann”

Abstract: En la teoría de números, la función dseta de Riemann toma un lugar protagónico por su aparición a varios problemas aritméticos (por ejemplo, es la función L de una forma modular). En esta presentación

veremos la clase de valores, que han sido estudiados desde hace cientos de años partiendo con el problema de Basilea, y otras propiedades numéricas que toma la función dseta de Riemann sobre números enteros. También daremos un recuento histórico sobre los últimos avances en este tópico, y una conjetura complementaria.

Profesor guía: Héctor Pastén

Hora de presentación: 09:30 horas

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Expone: Sofía Errázuriz Muñoz

Tema: “Acercándonos geométricamente a familias shifted”

Abstract: ¿Qué tan cercanas son la geometría y la combinatoria? En esta charla se presentarán las familias threshold, M-threshold, de grado maximal y shifted junto a un poco de teoría de matroides. Además, se mostrarán los resultados obtenidos a lo largo del semestre trabajando con Sage en familias M-threshold y se discutirá si es posible tener una descripción geométrica que se acerque lo más posible a las familias shifted.

Profesor guía: José Samper

Hora de presentación: 10:30 horas

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Expone: Benjamín Hurtado Rojas

Tema: “Medidas de Gibbs y el Teorema de Bowen”

Abstract: En esta presentación se introducirán conceptos básicos de la Teoría Ergódica en el contexto de subshifts de tipo finito. Definiremos la presión y estudiaremos propiedades de esta construyendo medidas de Gibbs. Finalmente, se mencionará un teorema de equidistribución de Bowen que relaciona la Medida de Gibbs con las medidas periódicas (con ciertos pesos).

Profesor guía: Aníbal Velozo

Hora de presentación: 11:00 horas

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Expone: Esteban Vásquez Lara

Tema: “Medida de Equilibrio y Dinámica Polinomial”

Abstract: Usando Teoría Potencial y la función de Green de la cuenca infinita para un polinomio f, podemos mostrar que dado un elemento w en su conjunto de Julia sus preimágenes iteradas se equidistribuyen de acuerdo a la medida de equilibrio del conjunto de Julia. (Teorema de Brolin).

Profesor guía: Jan Kiwi

Hora de presentación: 11:30 horas

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Expone: Rodrigo Galaz Alvarado

Tema: “Rigidez e intersecciones atípicas de grupos formales”

Abstract: En el contexto de grupos formales sobre el anillo de enteros de un campo $p$-ádico, vamos a demostrar un resultado de intersecciones atípicas. Si dos grupos formales tienen infinitos puntos de torsión en común, entonces son iguales.

Profesor guía: Ricardo Menares

Hora de presentación: 12:00 horas

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Expone: Eduardo Vásquez Tapia

Tema: “Clustering Bayesiano No Paramétrico: Una introducción a los procesos de Dirichlet”

Abstract: Resumen. Uno de los desafíos en estadística Bayesiana no paramétrica es la definición de modelos de probabilidad sobre espacios infinito-dimensionales. En esta presentación, se introducirán los Procesos de Dirichlet (DP), centrándonos principalmente en la característica discreta de sus realizaciones. En la práctica, esta característica es ampliamente explotada tanto en estimación de densidades como en modelos de agrupamiento, sobre todo por la posibilidad de realizar inferencia sobre el número de componentes en una mezcla, o el número de grupos en clustering, sin tener que fijar ese número de antemano. En particular hablaremos sobre los DP y en especial los Dirichlet Process Mixtures (DPM). Daremos una revisión histórica a algunos de los algoritmos de simulación de estos procesos, así como la conexión con los Modelos de Particiones Aleatorias. Finalmente, comentaremos acerca del problema de alto costo computacional de estos algoritmos para grandes volúmenes de datos, y se presentar ́a una nueva propuesta que ayuda a mitigar este problema, terminando con una aplicación tanto en estimación de densidades como en clustering.

Profesor guía: Fernando Quintana

Hora de presentación: 12:30 horas

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Expone: Leonardo Montoya Seminario

Tema: “Órdenes estocásticos y Diseño de Información”

Abstract: En esta presentación comenzaremos dando una introducción sobre órdenes estocásticos.  Posteriormente introduciremos una familia de problemas de información y estableceremos su conexión con las propiedades de martingala y orden convexo. Concluimos con una vinculación de algunos problemas de diseño de información con problemas de mayorización y sus puntos extremos, desarrollada recientemente en Kleiner et al. 2021.

Profesor guía: Nicolás Figueroa

Hora de presentación: 14:00 horas

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Expone: Juan Noguera Cerda

Tema: “Teoría de inmersiones desde el punto de vista de la homotopía”

Abstract: En esta presentación voy a mostrar cómo estudiar espacios de inmersiones entre variedades diferenciables usando métodos de la topología algebraica, como grupos de homotopía, espacios de funciones, fibraciones de Serre, etc. Esto es posible gracias al teorema de Hirsch-Smale, el cual enunciaré y aplicaré en un ejemplo concreto: curvas regulares cerradas en el plano.

Profesor guía: Mauricio Bustamante

Hora de presentación: 14:30 horas

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Expone: Fabián Sepúlveda Rivas

Tema: “Equiparación de puntajes mediante fijación de parámetros”

Abstract: Equating es una familia de modelos y métodos estadísticos utilizados para equiparar los puntajes de dos o más formas de una prueba, de manera que dichos puntajes sean comparables. En este trabajo se estudia el problema de equating desde un punto de vista estadístico y se intenta dar una respuesta a la pregunta ¿cómo equiparar (es decir, hacer comparables) los puntajes obtenidos por dos o más formas de una prueba? El problema de equiparación de puntajes es de interés práctico en diferentes escenarios. Un ejemplo es la comparación de puntuaciones obtenidas por una generación anterior de estudiantes con puntajes de una nueva generación. Este es el caso para la selección de estudiantes a la educación universitaria en Chile. Debido al cambio del examen de acceso a la universidad, PSU a PDT (una prueba transitoria), y a una prueba más reciente que tendrá lugar este año, la prueba PAES, las universidades recibirán candidatos con puntajes medidos por alguna de estas pruebas y tendrán que seleccionar de manera justa, cualesquiera haya sido la prueba rendida por los postulantes. En este contexto, la respuesta de cómo equiparar los puntajes de diferentes pruebas en diferentes momentos tiene impacto sustancial en las vidas de las y los estudiantes. En este trabajo se ofrece una descripción de equating desde la perspectiva de un modelo estadístico, luego se aborda la teoría probabilística para la medición de habilidades (e.g. habilidad matemática), y se presenta un método de equating conocido como “calibración mediante fijación de parámetros", describiendo algunas ventajas y desventajas en comparación a otros métodos más tradicionales de equating.

Profesor guía: Jorge González

Hora de presentación: 15:00 horas

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Expone: Andrés Morán Lamas

Tema: “Integrales de camino de Feynman: expansión alrededor de la trayectoria clásica y método de la fase estacionaria”

Abstract: Las integrales de camino de Feynman corresponden a una formulación alternativa de la mecánica cuántica. Sin embargo, este objeto es problemático. Aún en la actualidad existen intentos de dar una definición completamente rigurosa de dicha noción, sin oscurecer los aspectos operacionales. En consiguiente, el presente trabajo pretende desarrollar métodos para calcular integrales de camino eficientemente. Se comienza con los aspectos básicos de la mecánica lagrangiana, para posteriormente definir la integral de camino de Feynman. Se procede a analizar el caso de la partícula libre, donde ya se observa que los cálculos son difícilmente manejables. Esto conduce hacia dos métodos: expandir alrededor de la trayectoria clásica y al método de fase estacionaria. Ambas técnicas reducen la extensión de los cálculos. Adicionalmente, del trabajo es posible inferir que algunos ejemplos podrían ser reducidos a resolver recursiones.

Profesor guía: Gregorio Moreno

Hora de presentación: 15:30 horas

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Expone: Karla Sepúlveda Medina

Tema: “Flujo de acortamiento de curvas”

Abstract: El flujo de acortamiento de curvas toma una curva suave en R2 y la modifica moviendo cada punto en la dirección de la normal de acuerdo a su curvatura. Mostraremos cómo evoluciona una curva bajo este proceso y algunas soluciones autosimilares que ejemplifican cómo curvas en R2 se mantienen planas en R3.

Profesor guía: Pilar Herreros

Hora de presentación: 16:00 horas

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Expone: Ignacio Rojas Aravena

Tema: “El problema de equidistribución $\alpha$ - Kakutani”

Profesor guía: Godofredo Iommi

Hora de presentación: 10:00 horas

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