Este modelo describe el movimiento de un fluido incompresible e irrotacional bajo la influencia de la gravedad, confinado por un fondo rígido en la parte inferior y una superficie libre en la parte superior. Aunque las ondas solitarias están bien comprendidas en el caso de un fondo plano, nos interesa analizar qué ocurre cuando la topografía del fondo cambia—por ejemplo, cuando la onda encuentra una elevación o depresión repentina en el lecho marino. Esto da lugar a un régimen de interacción entre la onda y el fondo variable, en el que tanto la velocidad como la forma de la onda evolucionan de manera dinámica.
Para entender mejor esta interacción compleja, también estudiamos modelos simplificados o “de juguete”, como la ecuación de Korteweg–de Vries (KdV), la ecuación de Whitham y los sistemas de Boussinesq tipo abcd. Estos modelos capturan aspectos esenciales de la dinámica en formas más manejables, y nos ayudan a identificar los mecanismos clave que rigen la respuesta de la onda.
Con el fin de obtener una alternativa canónica, Nash propuso a comienzos de la década de 1960 un proceso conjetural para resolver singularidades hoy conocido como el estallido de Nash. Una pregunta central en resolución de singularidades es si iterar esta construcción basta para resolver todas las singularidades. En un trabajo reciente en conjunto con Federico Castillo, Daniel Duarte y Maximiliano Leyton-Álvarez, demostramos que la respuesta es negativa para variedades de dimensión cuatro o superior.
En esta charla, daré una visión general tanto del problema de resolución de singularidades como de la aproximación mediante el estallido de Nash. La presentación está pensada para un público matemático amplio, incluyendo a quienes no tengan experiencia previa en geometría algebraica.
Haremos una breve introducción a las cadenas de Markov, las que son un objeto interesante tanto
desde el punto de vista teórico como aplicado. En particular daremos una breve descripción de lo que se
conoce como teoría del potencial y veremos sus aplicaciones en paseos en árboles. En particular
consideraremos distancias ultramétricas y su relación con clasificación.