Grupo de Estudio en Teoría de Probabilidades

El Grupo de Estudio en Teoría de Probabilidades es una instancia organizada por estudiantes de matemáticas con el fin de profundizar en herramientas y diversos problemas del área de probabilidades. El espacio es abierto a todo público interesado en Teoría de Probabilidades.

Este semestre el tema de estudio del grupo gira en torno a las Ecuaciones Diferenciales Parciales Estocásticas (SPDE's). El objetivo inicial es el estudio de existencia y unicidad de la ecuación del calor estocástica siguiendo el enfoque clásico de la integral estocástica de Walsh. Posteriormente, la idea es estudiar temas de investigación actual tales como SPDE's singulares (KPZ, ecuación del calor multiplicativa, etc), convergencia de sistemas de partículas a SPDE's, entre otros.

 

Las sesiones se llevan a cabo todos los días viernes de 13:30 a 14:50 en la sala 5.

 

2026-06-05
13:40hrs.
Fernando Machuca . Universidad de Chile
Ecuaciones Diferenciales Parciales Estocásticas (SPDE's): Propiedades de la Integral de Walsh
Sala 5
Abstract:
En esta sesión continuamos con las propiedades de la Integral estocástica de Walsh. La idea es revisar algunas de las propiedades más importantes de esta medida de Martingala.
2026-05-29
13:30hrs.
Fernando Machuca. Universidad de Chile
Ecuaciones Diferenciales Parciales Estocásticas (SPDE's): Integral Estocástica de Walsh
Sala 5
Abstract:
Contuinamos con el estudio de las propiedades de la Integral estocástica de Walsh.
2026-05-15
13:30hrs.
Fernando Machuca . Universidad de Chile
Ecuaciones Diferenciales Parciales Estocásticas (SPDE's): Ruido blanco e Integral Estocástica de Walsh
Sala 5
Abstract:
En esta sesión desarrollamos más propiedades del ruido blanco espacio-temporal. En particular, lo estudiamos como medida $L^2$-evaluada y vemos la medida de martingala que genera. Además, introducimos la clase de integrandos presentes en la Teoría de Walsh.
2026-05-08
13:30hrs.
Fernando Machuca. Universidad de Chile
Ecuaciones Diferenciales Parciales Estocásticas (SPDE's): Ito y Feynman-Kac
Sala 5
Abstract:
En esta sesión del seminario cerramos el estudio de la integración estocástica con respecto al tiempo en el sentido de Ito. Para ello, revisamos la Fórmula de Ito y, a modo de aplicación, veremos la relación más clásica entre análisis estocástico y EDP: La fórmula de Feynman-Kac. Para finalizar y si el tiempo lo permite, comenzamos con el estudio de SPDE's introduciendo la noción de ruido blanco espacio-temporal.
2026-04-17
13:30hrs.
Juan Fleaux. PUC
Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (SPDE's): Integración Estocástica de Ito
Sala 5
Abstract:
En esta sesión revisamos la definición de la integral estocástica de Ito para procesos predecibles y algunas de sus propiedades. La idea es utilizar la teoría de Martingalas a tiempo continuo para construir el concepto de integral estocástica.
2026-04-10
13:30hrs.
Matias Morgado. PUC
Ecuaciones Diferenciales Parciales Estocásticas (SPDE's): Teoría de Martingalas
Sala 5
Abstract:
En esta sesión revisamos los resultados principales en torno a los procesos de Martingala, pasando por el Teorema de Convergencia de Martingala, las estimadas de Doob y la convergencia en $L^p$.
2026-03-27
13:30hrs.
Fernando Machuca. Universidad de Chile
Ecuaciones Diferenciales Parciales Estocásticas (SPDE's): Introducción
Sala 5
Abstract:
En estas sesiones del Seminario vamos a estudiar la Teoría clásica de las ecuaciones diferenciales parciales estocásticas (SPDE's). En particular, el objetivo es estudiar la teoría de existencia y unicidad de la ecuación del calor estocástica mediante la integral estocastica de Walsh. Los objetivos posteriores del grupo se discutirán más adelante.

En esta sesión se introduce la ecuación del calor estocástica desde una perspectiva de sistemas de partículas (heurísticamente) y se revisan las nociones básicas de Probabilidad. En particular, hasta el concepto de Martingala.
2025-11-07
13:30hrs.
Fernando Machuca. PUC
Caminatas aleatorias y redes eléctricas
Sala 1
Abstract:
En esta sesión comenzamos a estudiar el paper de Jian Ding "Asymptotics of cover times via gaussian free fields: Bounded-degree graphs and general trees". El objetivo es presentar el resultado que relaciona el comportamiento de los tiempos de cobertura con el máximo del GFF discreto. Además, introducimos las nociones de tiempos locales y dominación estocástica.
2025-10-24
11:00hrs.
Fernando Machuca. PUC
Seminario de Cálculo de Malliavin
Sala 1
Abstract:
Con el objetivo de estudiar más concretamente la derivada de Mallivin, introducimos la descomposición en n-caos de Wiener-Ito sobre las funciones cuadrado integrables en la $\sigma$-álgebra del Movimiento Browniano. 
2025-10-24
13:30hrs.
Fernando Machuca. PUC
Caminatas aleatorias y redes eléctricas
Sala 1
Abstract:
En esta sesión revisamos la noción de algunos tiempos aleatorios en caminatas aleatorias tales como tiempos de hitting, tiempos de commutación y tiempos de cobertura. Además, introducimos el concepto de Gaussian free field (GFF) discreto y probamos que define un proceso gaussiano en redes eléctricas. 
2025-10-17
11:00hrs.
Juan Fleaux. PUC
Seminario de Cálculo de Malliavin
Sala 5
Abstract:
En esta sesión abordaremos, en detalle la derivada de Malliavin. Para esto, definiremos lo que son los espacios de Sobolev y veremos algunas de sus propiedades. Finalmente, mostraremos como el operador de divergencia está íntimamente relacionado a la integral de Ito.
2025-10-10
13:30hrs.
Fernando Machuca. PUC
Caminatas Aleatorias y Redes Eléctricas
Sala 1
Abstract:
En esta sesión vamos a demostrar el Teorema de Polya en $\mathbb{Z}^d$ para marchas aleatorias simétricas vía técnicas de circuitos eléctricos. Para la demostración de recurrencia aludiremos al concepto de conjuntos de corte; mientras que para transiencia veremos una caracterización hecha por Lyons que mediante un argumento de aleatorización de aristas, nos permitirá concluir.
2025-10-10
11:00hrs.
Fernando Machuca. PUC
Seminario de Cálculo de Malliavin
Sala 1
Abstract:
Comenzamos la primera sesión en el Cálculo de Malliavin. A modo de introducción, repasaremos brevemente la noción de Movimiento Browniano y de su integral estocástica para integrandos en $L^2(\mathbb{R}_+)$. Finalmente, veremos la definición y propiedades de la Derivada de Malliavin.
2025-09-26
13:30hrs.
Fernando Machuca. PUC
Caminatas aleatorias y Redes eléctricas
Sala 1
Abstract:
En esta sesión revisamos aplicaciones del enfoque de reducción de circuitos eléctricos al cálculo de probabilidades para algunas cadenas de Markov clásicas. Además, se revisarán en profundidad más conceptos relevantes de la teoría de circuitos, tales como el principio de monotonía de Rayleigh.
2025-09-05
13:30hrs.
Fernando Machuca. PUC
Caminatas aleatorias y Redes eléctricas
Sala 1
Abstract:
En esta sesión revisamos la construcción de los circuitos electricos sobre redes: voltajes, corrientes y las leyes que los correlacionan, como la Ley de Ohm y la Ley de Kirchhoff. Adicionalmente, revisamos interpretaciones probabilistas de estos conceptos como por ejemplo las funciones de Green como voltajes con corriente unitaria. Finalmente, veremos cómo usar este formalismo de circuitos para obtener probabilidades de importancia en distintas Cadenas de Markov.
2025-08-29
13:30hrs.
Fernando Machuca. PUC
Caminatas aleatorias y Redes eléctricas
Sala 1
Abstract:
En esta sesión comenzamos a construir la idea de circuito eléctrico que utilizaremos para estudiar caminatas aleatorias en grafos. Con el fin de definir el análogo a función de voltaje, revisaremos en particular el concepto de función harmónica discreta, algunas de sus propiedades básicas y el problema de Dirichlet.
2025-08-22
13:30 hrs.
Fernando Machuca. PUC
Caminatas aleatorias y redes eléctricas
Sala 1
Abstract:
En esta sesión del grupo comenzamos el estudio de las caminatas aleatorias sobre grafos mediante un enfoque de redes eléctricas. En particular, vamos a comenzar repasando algunas nociones de Cadenas de Markov, las cuales incluyen la propiedad de Markov débil y fuerte; y además algunas aplicaciones a recurrencia.
2025-05-29
14:50hrs.
Matias Morgado. PUC
Teoría de grandes desvíos IV
Sala multiusos, segundo piso
Abstract:
En esta sesión nos enfocaremos en el modelo ferromagnético de Curie-Weiss, el cual se puede describir como una aproximación de campo media del modelo de Ising, dónde en lugar de ver las interacciones individuales y como estas afectan al sistema, cambiamos el enfoque y "suavizamos" el comportamiento microscópico, para concentrarnos en el resultado total de las interacciones, viendo la magnetización como un fenómeno de un gran cuerpo, en lugar de muchas partículas que lo conforman. De esta manera al depender del número de partículas más que de las interacciones entre ellas, podemos deducir gracias a Cramer la existencia de un LDP (large deviation principle).
2025-05-22
14:50hrs.
Fernando Machuca. PUC
Teoría de Grandes Desvíos III
Sala multiusos, segundo piso
Abstract:
En esta sesión revisamos algunos de los resultados clásicos de la Teoría. Entre ellos: el principio de contracción, el Teorema de Varadhan y el Teorema de Bryc. El primero permite deducir nuevos principios de grandes desvíos a partir de uno ya conocido, mientras que los otros dos establecen una conexión entre grandes desvíos y el estudio asintótico (probabilístico) de integrales.
2025-05-15
14:50hrs.
Fernando Machuca . PUC
Teoría de grandes desvíos II
Sala multiusos, segundo piso
Abstract:
En esta sesión del grupo seguimos profundizando en la definición de grandes desvíos. En particular, estudiaremos en detalle algunas propiedades de las funciones de tasa y la noción de función semi-continua inferior. Además, comenzamos a revisar el Teorema de Cramer y la relación entre grandes desvíos y análisis convexo.