El Minicurso se realizará los días:
Miércoles 3 de octubre de 2012 - 17:00 hrs. Sala 1 Fac. de Matemáticas Viernes 5 de octubre de 2012 - 17:00 Hrs. Sala 1 - Fac. de Matemáticas Lunes 8 de octubre de 2012 - 17:00 Hrs. Sala 3 - Fac. de Matemáticas Miercoles 10 de octubre de 2012 - 17:00 Hrs. Sala 2 - Fac. de Matemáticas Viernes 12 de octubre de 2012 - 17:00 Hrs. Sala 1 - Fac. de Matemáticas
Resumen: Las matrices de Jacobi son matrices tridiagonales que surgen en una amplia gama de aplicaciones. Generan operadores en diferencias que pueden ser vistos como el análogo discreto de operadores diferenciales como el operador de Sturm Liouville. De hecho todo operador autoadjunto es unitariamente equivalente a un operador de Jacobi (si el espacio de Hilbert es separable y el espectro del operador es simple). En el presente curso estudiaremos matrices de Jacobi finitas. Estas matrices surgen, en particular, cuando se modelan sistemas oscilantes con un número finito de masas puntuales conectadas por resortes. El estudio del espectro es entonces el estudio de las frecuencias naturales de vibración del sistema. El problema fundamental es relacionar estas frecuencias, es decir, los valores propios de la matriz de Jacobi, con las características del sistema vibrante, esto es, con las entradas de la matriz. De especial interés es el estudio del problema inverso: reconstruir la matriz a partir del información espectral. Los valores propios resultan ser raices de polinomios que son ortogonales con respecto a una medida, llamada medida espectral, que describe completamente el espectro de la matriz. Esta relación entre valores propios y raices de polinomios, permite diversas formas de entender aspectos fundamentales del espectro de matrices.
El curso casi no tiene prerequisitos. Solo son necesarios conocimientos básicos de algebra lineal, calculo diferencial y variable compleja. Es indicado para quien le interese un enfoque novedoso a los problemas sobre el espectro de operadores lineales, en particular operadores lineales en espacios vectoriales de dimension finita.
This talk will begin with a gentle introduction to the basic properties of K3 surfaces, and related holomorphic symplectic manifolds, objects of much fascination for their rich geometry, and rarity. A major recent development in their theory is Verbitsky´s Global Torelli Theorem, which has already yielded a number of results about the finer structure of families or moduli of holomorphic symplectic manifolds. After a quick survey of this Theorem, we shall present one such result: a density theorem for a special class of holomorphic symplectic manifolds, the Hilbert schemes. This is a report on joint work with Eyal Markman. The presentation is aimed at graduate students.
K3 surfaces are amongst the most studied surfaces in algebraic geometry. What makes the geometry of a K3 so interesting is that it carries a nondegenerate holomorphic 2-form: thus any K3 is a compact holomorphic symplectic manifold. Examples of such manifolds are quite rare, and their study and classification is an active area of research. A particular example of a homolorphic symplectic manifold (discovered by Beauville) is the Hilbert scheme X [n] parametrizing subsets (or subschemes) of n points on a K3 surface X. While any K3 varies in a 20-dimensional family, X[n] has a 21-dimensional space of deformations, and it is an open problem to give a geometric description of these additional deformations.
This talk will attempt to explain how this extra modulus may be seen to arise from noncommutative" deformations of X: The presentation is aimed at a broad audience.