Seminario de Teoría de Números

2024-12-19
11:00hrs.

Dino Lorenzini. University of Georgia
Resolution of wild Z/pZ-quotient singularities.
Sala 2
Abstract:
The regular model of a curve is a key object in the study of the arithmetic of the curve, as information about the special fiber of a regular model provides information about its generic fiber (such as rational points through the Chabauty-Coleman method, index, Tamagawa number of the Jacobian, etc). Every curve has a somewhat canonical regular model obtained from the quotient of a regular semistable model by resolving only singularities of a special type called quotient singularities. We will discuss in this talk what is known about the resolution graphs of Z/pZ-quotient singularities in the wild case, when p is also the residue characteristic. The possible singularities that can arise in this process are not yet completely understood, even in the case of elliptic curves in residue characteristic 2.

2024-12-06
14:00hrs.

Matías Bruna. University of Toronto
Sobre la representación de enteros como suma de cuadrados
Sala 2
Abstract:
 Un problema clásico en teoría de números es calcular el número de representaciones r(n,k) de un entero n como suma de k cuadrados. Esto fue resuelto explícitamente por Jacobi (entre otros) para k par y menor o igual que 8, por Liouville para k=10,12, y por Glaisher para k par y menor o igual que 18. En esta charla daremos una breve introducción a la teoría de formas modulares y veremos cómo esta puede usarse para calcular explícitamente r(n,k) para k par y pequeño, y también para obtener una fórmula asintótica para k par arbitrario. Si el tiempo lo permite, también discutiremos brevemente el caso k impar y cuales son sus dificultades.

2024-11-29
14:00hrs.

José Cuevas. UC
Demostración de Dem'janenko-Manin y aplicaciones
Sala 2
Abstract:

2024-11-22
14:00hrs.

Héctor Pastén. UC
Preliminares para Manin-Demjanenko
Sala 2
Abstract:
Se revisaran herramientas necesarias para entender el Teorema de Manin-Demjanenko 

2024-11-15
14:00hrs.

Rocío Sepúlveda Manzo . UC
Teorema de Chabauty
Sala 2

2024-11-08
14:00hrs.

Siddhi Pathak. Chennai
On the zeros of variants of Ramanujan polynomials
Sala 2
Abstract:
In 2011, Murty, Smyth and Wang introduced the family of 'Ramanujan polynomials' and proved that the non-real zeros of all such polynomials lie on the unit circle. These polynomials are related to the period polynomial of standard Eisenstein series. Since then, it has been established that period polynomials associated to generalized Eisenstein series and Hecke newforms also have all their roots on the unit circle. In this talk, we discuss recent results regarding the unimodularity of zeros of certain cognate polynomials.

2024-10-25
14:00hrs.

Matías Alvarado. UC
Sobre grupos de Lie $p$-ádicos y el Teorema de Chabauty
Sala 2
Abstract:
Se estudiarán los preliminares para comprender el método $p$-ádico de Chabauty para determinar el conjunto de puntos racionales sobre una curva dada de género $\geq 2$.

2024-10-18
14:50hrs.

Héctor Pastén. UC
Introducción a la Conjetura de Mordell II
Sala 2
Abstract:
Se seguirá con la introducción a la Conjetura de Mordell y se verán detalles técnicos necesarios.

2024-10-11
14:50hrs.

Rodrigo Galaz. UC
Introducción a la Conjetura de Mordell I
Sala 2
Abstract:
La Conjetura de Mordell , formulada en 1922, relaciona la Teoría de Números y la Geometría Algebraica. Esta enuncia que una curva de género mayor o igual a 2 tiene una cantidad finita de puntos racionales.

En esta charla veremos las herramientas que nos permiten entender el enunciado y veremos cómo podemos relacionarla con distintos objetos de la Teoría de Números, como las curvas elípticas.

2023-11-24
14:50hrs.

Héctor Pastén. UC
Una variación del problema de Brocard
Sala 5
Abstract:
El problema de Brocard pregunta si hay sólo finitos enteros positivos $n$ tal que $n!+1$ sea un cuadrado. Por ejemplo $n=4, 5, 7$ sirven. En esta charla voy a presentar una generalización de la función factorial y vamos a considerar el problema de Brocard para esta nueva función. Finalmente, demostraremos incondicionalmente la finitud de soluciones para este problema generalizado en un rango preciso.

2023-11-17
14:50hrs.

José Cuevas. UC
Conjeturas de Weil para curvas y temas afines
Sala 5
Abstract:
En este seminario presentaremos un esbozo de las conjeturas de Weil (con énfasis en el análogo de la hipótesis de Riemann) para curvas sobre cuerpos finitos, y algunas de sus consecuencias y aplicaciones. También daremos indicaciones sobre sus generalizaciones y variaciones.

2023-11-10
14:50hrs.

Felipe Inostroza. UC
El Último Teorema de Fermat en Polinomios
Sala 5
Abstract:
En esta charla demostraremos el último teorema de Fermat para polinomios usando el teorema de Mason.

2023-11-03
2:50pmhrs.

Héctor Pastén. UC
Derivadas Aritméticas
Sala 5
Abstract:

En esta charla explicaré cómo construir derivadas no triviales en los números enteros y formularé una conjetura sobre su tamaño: la "conjetura de las derivadas pequeñas". Se demostrará un teorema que da una cota para la conjetura ABC en términos de estas derivadas aritméticas. Finalmente mostraremos cómo la conjetura de las derivadas pequeñas implica ABC.

2023-10-20
14:50hrs.

Elizabeth Menezes. Impa
Defective Varieties and Applications
Sala 5
Abstract:
The complexity of the matrix multiplication algorithm can be determined by decomposing a certain tensor according to its rank. Moreover, the rank of a tensor can be given by the dimension of secant projective varieties. In this talk, I will show some examples where this can be done and how it motivates the study of defective varieties. Finally, if there’s any time left, I will introduce weakly defective varieties and classify surfaces which are weakly defective.

2023-10-13
14:50hrs.

Matías Alvarado. UC
Sobre la conjetura de Lehmer y su versión dinámica
Sala 5
Abstract:
El objetivo de esta charla es discutir sobre la conjetura de Lehmer y la conjetura de Lehmer dinámica. Con este objetivo, revisaremos primeramente alturas en variedades algebraicas y posteriormente estudiaremos definiciones básicas de la teoría de dinámicas aritméticas.

2023-09-29
14:50hrs.

Benjamín Castillo. UC
Sobre las representaciones complejas de SL(2,Z)
Sala 5
Abstract:
El grupo SL(2,Z) es un grupo infinito no abeliano con amplias aplicaciones en problemas tanto de origen geométrico como aritmético.

2023-09-22
14:50hrs.

José Cuevas. UC
La Conjetura de Catalan II: Inkeri, Mihãilescu, Weiferich
Sala 5
Abstract:
En la charla del 8 de septiembre se presentó el caso de exponentes pares para la conjetura de Catalan. Aquí seguiremos con el problema, exponiendo un refinamiento de Mihãilescu a un teorema de Inkeri que impone fuertes condiciones sobre los exponentes, empleando métodos de cuerpos ciclotómicos.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html

2023-09-08
14:50hrs.

Rocío Sepúlveda. UC
La conjetura de Catalan I: Exponente par
Sala 5
Abstract:
El problema de Catalan es un famoso teorema en teoría de números que fue conjeturado en 1842. Pasaron más de 160 años hasta que finalmente fue demostrado por el matemático rumano Preda Mihãilescu en 2004. En esta charla, realizaremos un recuento histórico de algunos avances en el problema de Catalan presentando los teoremas de Nagell, Ko Chao, Euler y V. A. Lebesgue, centrándonos en la resolución del caso de exponente par.

2023-09-01
14:50hrs.

Cristóbal Villalobos. UC
Algunos conjuntos no diofantinos
Sala 5
Abstract:
Vamos a presentar algunos conjuntos no diofantinos a los cuales se ha llegado con nuevas técnicas que utilizan herramientas de superficies elípticas y geometría algebraica.

2023-08-25
14:50hrs.

Héctor Pastén. UC
Algunos casos de la conjetura de Hall
Sala 5
Abstract:
La conjetura de Hall predice que los cuadrados y los cubos no pueden estar muy cerca entre ellos, en una forma precisa. Este problema sigue abierto. Revisando ideas de un antiguo artículo de Mordell, demostraremos la conjetura de Hall en al menos la mitad de los casos.