El Seminario IPCT (por sus siglas en inglés Inverse Problems and Control Theory) es un seminario conjunto entre las universidades UChile – UC – UTFSM – USACH con inicio en Septiembre 2024, el cual tiene como objetivo reunir a una comunidad científica en torno a los temas de problemas inversos y de la teoría de control en ecuaciones diferenciales además de sus aplicaciones en diversas áreas como son la ingeniería, la biomedicina, las ciencias de la tierra y del espacio entre otras. El seminario será de carácter itinerante entre las instituciones participantes y se realizará en modalidad híbrida, presencial y con transmisión online si las condiciones técnicas en cada ocasión lo permiten.
La costa del Pacífico es una zona con alta actividad sísmica. En los últimos 100 años, Chile ha sufrido 7 terremotos de magnitud 8.0 o superior, causando graves daños a diversas edificaciones, cambiando la geografía local y causando la muerte de miles de personas. De todos ellos, los más destructivos han sido sismos de subducción (Valdivia 1960, Constitución 2010).
Un sismo de subducción puede ser modelado como la interacción de dos cuerpos donde uno se desliza con respecto al otro sobre una superficie, o bien, a partir de un único dominio dividido en dos subdominios con una condición de interfaz dada por un salto de discontinuidad en la dirección tangencial (conocido como salto cosísmico). Si bien el instrumental real permite medir con gran precisión los desplazamientos y las tracciones de las placas tectónicas en la superficie terrestre, la reconstrucción de los desplazamientos dentro de las placas no es precisa debido a la falta de información sobre el salto cosísmico y a la ausencia de métodos numéricos más robustos para geometrías complicadas.
En este seminario se presentará el problema inverso de la recuperación del salto cosísmico a partir de mediciones de frontera de los desplazamientos y tracciones sujetas a la ecuación de elasticidad lineal, obteniendo un resultado de estabilidad condicional, junto con diversas técnicas numéricas basadas en elementos finitos y problemas de control óptimo, donde el control es el salto cosísmico. De esta forma, es posible simular escenarios realistas de interés para la comunidad geofísica con gran precisión numérica y bajo costo computacional.
The inverse elasticity problem can be simply stated as: given a deformed configuration and the forces that act on it, find an initial stress-free configuration such that when the given forces are applied to it, one recovers the given deformed configuration. Surprisingly, this problem can be framed as a (direct) elasticity one, whose mathematical properties are inherited from the original direct problem if the underlying material is sufficiently regular.
In this seminar, I will review this problem and its main mathematical properties. After this brief introduction, I will show some artifacts that appear when solving this problem, such as self-intersections and geometrically incompatible solutions. The talk will finish with an extension of this system to poroelastic materials, where I will show that the strong form of the equations does not allow for a weak formulation, and this requires some special treatment. All models will be shown to work in realistic heart geometries.