Seminario de Sistemas Dinámicos

2025-04-28
16:30hrs.

Léo Vivion. Université Du Littoral Côte D'opale
Balancedness constants of words generated by billiards in the hypercube
Sala de Seminarios (7° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
In this talk, I will consider words generated by coding the trajectory of a ball inside a hypercubic billiard table. Balancedness is a combinatorial notion related to the dynamical concept of discrepancy, which characterizes square billiard words. It is then natural to ask: what is the imbalance (i.e., the optimal balancedness constant) of hypercubic billiard words in higher dimensions?

After reviewing the partial results obtained by Vuillon in 2003, I will present a complete characterization of the imbalances of hypercubic billiard words generated by the trajectory of a ball launched with an initial momentum whose coordinates are rationally independent. In a second part, I will also examine the more intricate case, where the coordinates of the momentum are rationally dependent.

2025-04-14
16:30hrs.

Emir Molina. Universidad de Chile
Complejidad Boreliana para Acciones de Grupos
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
La teoría descriptiva de conjuntos es un área originada a inicios del siglo XX gracias al trabajo de los franceses Baire, Borel y Lebesgue. De esta teoría, nacen los conceptos de 'equivalencia orbital' y 'complejidad boreliana' como una herramienta para clasificar acciones de grupos sobre espacios Polacos. A través de esta charla introduciremos los conceptos antes mencionados junto a los distintos niveles de complejidad para finalizar con resultados y aplicaciones a la teoría de grupos ordenables; en  particular, en el contexto de grupos ordenables actuando sobre su espacio de órdenes.

2025-04-07
16:30hrs.

Haritha Cheriyath. Universidad de Chile
Open dynamics on subshifts of finite type
Sala 2
Abstract:

2025-03-31
16:30hrs.

Sebastián Barbieri. Universidad de Santiago de Chile
El grupo de automorfismos de un subshift
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
El grupo de automorfismos de un subshift es una invariante algebraica  que ha sido muy estudiada desde los años 60s. Daré una introducción al tema pasando por los teoremas clásicos y terminaré presentando un resultado reciente que relaciona estos grupos con aspectos de la geometría  del grupo subyacente al subshift. Trabajo en conjunto con Nicanor Carrasco Vargas y Paola Rivera Burgos.

2025-03-10
16:30hrs.

Andrés Navas. Universidad de Santiago de Chile
Acciones evanescentes aunque recurrentes
Auditorio DMCC (Piso -1), Universidad de Santiago de Chile
Abstract:

2025-01-13
16:30hrs.

Cristina Lizana. Universidade Federal Da Bahia
Intrinsic ergodicity for a certain class of Derived from Anosov
Sala 1
Abstract:
We will talk briefly about some classic examples of Derived from Anosov (DA), that is, homotopic maps to an Anosov diffeomorphism, whose dynamics are partially hyperbolic. We will address some known results related to entropy invariance and the existence (and uniqueness) of measures of maximal entropy for this class of diffeomorphisms. Finally, we will present recent results in collaboration with L. Parra (PUCV) and C. Vásquez (PUCV) for a certain class of DA generated after a Hopf bifurcation, previously introduced by [M. Carvalho'93].

2024-11-25
16:30hrs.

Mélodie Andrieu. Université Du Littoral Côte D'opale
Complexities of words generated by a billiard in the hypercube
Sala de Seminarios (7° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
Sturmian words form a class of binary infinite words which sheds light, through its equivalent definitions, on remarkable interactions between combinatorics, dynamical systems, and number theory. They give rise to several generalizations over the d-letter alphabet, for d ≥ 3. A large program, initiated in the 80s, is to determine which characteristic properties of Sturmian words each of these generalizations still satisfy.

2024-11-11
16:30hrs.

Sébastien Labbé. Cnrs, Labri / Université de Bordeaux
Aperiodic Wang tiles associated with metallic means
Sala 2
Abstract:
A Penrose tiling consists of two polygonal tiles whose frequency ratio is equal to the golden ratio. Similarly, tilings by the aperiodic monotile discovered in 2023 by David Smith are such that the ratio of the frequencies of the two orientations of the monotile is equal to the fourth power of the golden ratio. The structure of Jeandel-Rao tilings discovered in 2015 is also explained using the golden ratio. We know of aperiodic tilings that are not related to the golden ratio. However, the characterization of possible numbers for such ratios is a question, posed as early as 1992 by Ammann, Grünbaum and Shephard, which is still open today.

We introduce a new family of sets of aperiodic Wang tiles (unit squares with labeled edges). The family extends the relationship between quadratic integers and aperiodic tilings beyond the ubiquitous golden ratio, as its dynamics involves the positive root of the polynomial $x^2-nx-1$. This root is sometimes called the $n$-th metallic mean, and in particular, the golden ratio when $n=1$ and the silver ratio when $n=2$.

Details can be found in the prepublications available at arXiv:2312.03652 (Part I) and arXiv:2403.03197 (Part II).

2024-11-04
16:30hrs.

Alfredo Calderón. Universidad Católica Silva Henríquez
Condiciones para la inestabilidad estructural de contracciones a trozos del intervalo
Sala 2
Abstract:
En la presente charla mostraremos que, bajo condiciones razonables, los mapas contractivos a trozos del intervalo que admiten dinámicas asintóticas no-periódicas no pueden ser estructuralmente estables. Se mencionarán algunos obstáculos y preguntas que surgieron durante este trabajo, tales como: ¿qué tipo de perturbaciones o topología deberíamos considerar? ¿cómo controlamos que las perturbaciones de contracciones a trozos sean contractivas a trozos sin exigir hipótesis adicionales?

Dado que varios resultados críticos para esta demostración no dependen de la "contracción a trozos", es conveniente trabajar en el espacio más amplio de mapas continuos por pedazos. En este contexto, establecemos una versión del Closing Lemma, la cual juega un papel fundamental en nuestra demostración.

2024-10-28
16:30hrs.

Christopher Cabezas. Universidad de Chile
Substitutive structures on general countable groups
Sala 2 (Facultad de Matemáticas, Edif. Rolando Chuaqui, Pontificia Universidad Católica)
Abstract:
Symbolic dynamics has been largely used to represent dynamical systems through a coding system. This method was initially developed by M. Morse and G. A. Hedlund. One commonly used coding method involves infinite sequences of morphisms defined on finitely generated monoids, known as directive sequences or S-adic representations. Recent research has shown that understanding the underlying S-adic structures of some subshifts is valuable for studying their dynamical properties. Considering the previous studies and acknowledging the effectiveness of the S-adic framework, it is natural to ask whether this setting is useful beyond the one-dimensional case. In 2023, the notion of constant-shape substitutions was introduced, as a multidimensional analogue for constant-length substitutions, marking a first attempt to study multidimensional substitutions in a broader class than those defined solely by rectangular and square supports. In this talk we are going to discuss a way to define, in a general way, analogs of constant-shape substitutions for general countable group actions. The geometry of these groups is an important feature to consider. We are going to present some dynamical properties about them, and discuss how to obtain other representations. This is a joint work with N. Bitar and P. Guillon.

2024-10-21
16:30hrs.

Samuel Petite. Université de Picardie Jules Verne
Minimal configurations for Frenkel-Kontorova model on a quasicrystal
Sala de Seminarios (5° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
The Frenkel-Kontorova model is a physical model that is mathematically simple to describe and universal in the sense that it can be used to describe several underlying physical concepts. It was originally introduced in 1938 to represent the structure and dynamics of a crystal lattice in the vicinity of a dislocation core. It models a chain of classical particles coupled to their neighbors and subjected to an external potential. In this talk, I will present an overview of some known properties and open questions concerning equilibrium configurations when the external potential is induced by a quasicrystal.

2024-10-14
16:30hrs.

Léo Poirier. École Normale Supérieure de Lyon
Characterising retract subshifts - introducing the notion of contractible subshift
Sala de Seminarios (7° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
A subshift $X$ is a retract of another subshift $Y \supset X$ if the embedding morphism ${\rm emb}\colon X \to Y$ is split-monic in the category of subshifts (i.e. have a left inverse block-map, or "retract"). To characterise this notion, we introduce "contractibility", a stregthening of the strong-irreducibility property which requires that the gluings are given by a block-map. After giving the characterisation of being a retract subshift, we will list out a few links between contractibility and other properties of subshifts (e.g. having dense periodic points, having the finite extension property, etc.).

This is a joint work with Ville Salo.

2024-09-30
16:30hrs.

Sebastián Barbieri. Universidad de Santiago de Chile
Cellular automata and percolation in groups
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
A famous theorem by Gilman shows that every cellular automaton over $\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}$ satisfies an important dynamical dichotomy with respect to any Bernoulli measure: either almost every configuration is sensitive to initial conditions, or the system is equicontinuous. We show that there exists a fundamental relationship between the existence of a non-trivial percolation threshold on the Cayley graphs of a given group $G$ and the failure of this dichotomy. We use this to give a characterization of the countable groups where Gilman's dichotomy is satisfied, which correspond to the class of locally virtually cyclic groups.

This is a collaboration with Felipe García-Ramos and Siamak Taati.

2024-09-23
16:30hrs.

Sebastián Donoso. Universidad de Chile
The joint transitivity property
Sala Multimedia (6° Piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
In recent years, the joint ergodicity property, which states that averages of $T_1^{a_1(n)}f_1 \cdots T_k^{a_k(n)}f_k$ converge (in the $L^2$ norm) to the product $\prod_{i=1}^{k} \int f_i d\mu$, has been extensively investigated in ergodic theory. The talk will focus on an analogous property in the topological dynamics setting, referred to as $\Delta$-transitivity or joint transitivity. The problem is to determine conditions under which the sequence $(T_1^{a_1(n)}x, \ldots, T_k^{a_k(n)}x)_{n\in \mathbb{N}}$ is dense in $X^k$ for a dense set of $x \in X$. In recent work with Andreas Koutsogiannis and Wenbo Sun, we established conditions under which the sequence $(T_1^n,T_2^n,\ldots,T_d^n)$ is jointly transitive. In this talk, we will review the main ideas of the proof and, if time allows, state possible future questions and directions.

2024-09-02
16:30hrs.

Néstor Jara Lagos. Universidad de Chile
Dinámica no autónoma generalizada a través de morfismos de grupoides
Sala de Usos Múltiples 2 (Edificio Felipe Villanueva)
Abstract:
En esta charla explico cómo extender las nociones de dinámica no autónoma a grupos arbitrarios, a través de morfismos de groupoides. Esto también presenta una generalización de los sistemas dinámicos clásicos y de las acciones de grupos. Introduzco la estructura de cotraslaciones, como un tipo específico de morfismo de groupoide, y establezco una correspondencia entre cotraslaciones y skew-products. Presentamos aplicaciones de las cotraslaciones a ecuaciones no autónomas, tanto en diferencias como diferenciales. También proporcionamos varios otros ejemplos en diferentes grupos. Finalmente, discutimos algunas propiedades algebraicas y analíticas de esta estructura.

2024-08-26
16:30hrs.

Leonardo Dinamarca. Universidad de Santiago de Chile
Crecimiento de la derivada para difeomorfismos del intervalo (con todos sus puntos fijos parabólicos)
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
Hace un par de décadas, Polterovich y Sodin probaron un sorprendente resultado: para un difeomorfismo de clase C² del intervalo con todos sus puntos fijos parabólicos, el crecimiento de la derivada es a lo más cuadrático. En esta charla, comenzaremos comentando aspectos sobre la demostración de este resultado. Luego, estableceremos nuestro resultado principal, el cual ofrece un mejoramiento del resultado de Polterovich y Sodin al estimar exactamente el crecimiento de la derivada. Hablaremos brevemente de las herramientas utilizadas en la demostración.

Este trabajo es en colaboración con Andrés Navas. 

2024-08-19
16:30hrs.

Thomas Jordan. University of Bristol
The shrinking target problem for self-affine sets
Sala 2
Abstract:
The shrinking target problem involves a dynamical system on a probability space or metric space and the set of starting points of orbits which hit a set of shrinking (defined in a suitable sense) sets infinitely often. Typical questions, depending on the setting, are to try and obtain a 0-1 law for the measure of the set based on the rate the targets shrink and to investigate the Hausdorff dimension of the set. We look at the dimension problem in the case of self-affine sets in $\mathbb{R}^2$. By considering a toy model we will show the situation is very different to the 1 dimensional case. The family we consider relates to Bernoulli convolutions and our arguments use both the traditional methods of studying Bernoulli convolutions (transversality) and the more recent ideas of Hochman and Shmerkin. This is joint work with Henna Koivusalo.

2024-07-08
16:30hrs.

Jan Kiwi. Pontificia Universidad Católica de Chile
Aplicaciones racionales degeneradas
Sala 2
Abstract:
El espacio de parámetros de aplicaciones racionales, de un grado dado, es una variedad compleja no-compacta. El objetivo de la charla es examinar la dinámica de funciones racionales que están cerca de infinito en el espacio de parámetros, es decir, cuando degeneran. Haré un resumen de resultados y técnicas conocidas. El énfasis estará en la relación entre la medida de máxima entropía y el comportamiento de la aplicación que envía un mapa $f$ a su $n$-ésimo iterado. Este es un trabajo conjunto, en progreso, con Honming Nie.

2024-07-01
16:30hrs.

Sebastián Ramírez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Mapas no-uniformemente hiperbólicos en T²
Sala 2
Abstract:
Un mapa $f$ se considera no-uniformemente hiperbólico (NUH) si sus exponentes de Lyapunov son distintos de cero en casi todas partes. El primer ejemplo de un mapa NUH que no es Anosov fue presentado por A. Katok en 1977. Además, se ha demostrado que cualquier superficie admite difeomorfismos que satisfacen esta propiedad. Sin embargo, estos difeomorfismos suelen ser frágiles en ciertos aspectos: si $f$ no es Anosov, cualquier difeomorfismo NUH conservativo puede ser aproximado en la topología $\mathcal{C}^1$ por un difeomorfismo cuyos exponentes de Lyapunov son cero. Este fenómeno es una consecuencia del teorema de Bochi-Mañe, revelando así una rigidez inherente a estos sistemas.

No obstante, cuando el mapa no es invertible, el teorema mencionado anteriormente no se cumple. Andersson, Carrasco y Saghin (2022) demostraron la existencia de un conjunto abierto $\mathcal{C}^1$ de endomorfismos conservativos en el 2-toro que son NUH. Obtuvieron ejemplos analíticos reales explícitos al deformar endomorfismos lineales. Sus técnicas son aplicables en casi todas las clases de homotopía y los ejemplos resultantes son establemente ergódicos (de hecho, Bernoulli) siempre que el mapa lineal no tenga un valor propio con módulo uno. En un trabajo más reciente, ampliamos estas técnicas para extender las clases de homotopías en las que existen conjuntos abiertos de endomorfismos NUH, y además, logramos la ergodicidad estable incluso en casos donde el mapa lineal no es hiperbólico (es decir, cuando tiene al $1$ o al $-1$ como valor propio). Este es un trabajo en colaboración con Kendry Vivas de la Universidad Católica del Norte.

2024-06-24
16:30hrs.

Sebastián Pavez Molina. Penn State University
Rigidez suave para difeomorfismos de Anosov en T^3
Sala 2
Abstract:
Una clase interesante de sistemas dinámicos a estudiar es la de los difeomorfismos de Anosov. Esta clase presenta un comportamiento complejo en cuanto a sus órbitas. Es sabido que estos son estructuralmente estables, es decir, si perturbamos suavemente el sistema original esta nueva dinámica es Anosov y conjugada bajo un homeomorfismo bi-Holder. En esta charla vamos a discutir que condiciones uno precisa para que dos difeomorfismos de Anosov  conjugados bajo un homeomorfismo sean efectivamente conjugados suavemente, es decir, que esta conjugación sea suave.