Con el fin de obtener una alternativa canónica, Nash propuso a comienzos de la década de 1960 un proceso conjetural para resolver singularidades hoy conocido como el estallido de Nash. Una pregunta central en resolución de singularidades es si iterar esta construcción basta para resolver todas las singularidades. En un trabajo reciente en conjunto con Federico Castillo, Daniel Duarte y Maximiliano Leyton-Álvarez, demostramos que la respuesta es negativa para variedades de dimensión cuatro o superior.
En esta charla, daré una visión general tanto del problema de resolución de singularidades como de la aproximación mediante el estallido de Nash. La presentación está pensada para un público matemático amplio, incluyendo a quienes no tengan experiencia previa en geometría algebraica.
Haremos una breve introducción a las cadenas de Markov, las que son un objeto interesante tanto
desde el punto de vista teórico como aplicado. En particular daremos una breve descripción de lo que se
conoce como teoría del potencial y veremos sus aplicaciones en paseos en árboles. En particular
consideraremos distancias ultramétricas y su relación con clasificación.
Todo operador invertible con potencias uniformemente acotadas es semejante a un operador unitario (isometría invertible). Esto es una consecuencia de la existencia de una buena noción de promedio en los números enteros. Estas ideas se pueden extender al mundo de los grupos y sus representaciones, dando origen a los conceptos de grupo unitarizable y grupo promediable. El problema de Dixmier busca entender si estas dos definiciones son equivalentes.
Daré un recuento sobre los orígenes de esta pregunta y los progresos que han habido en pos de su resolución.