Seminario de la Conjetura abc y temas afines

Un seminario acerca de la conjetura abc y sus variaciones en geometría diofantina, y otras tendencias en teoría de números.
(Casi) todos los viernes, a las (13:30-14:40 hrs.).
La página web del seminario es: josecuevas.xyz/teach/seminario-abc/
2025-04-25
13:30hrs.
Héctor Pastén. PUC
Sobre el máximo común divisor
Sala 1
Abstract:
Vamos a explicar qué es el máximo común divisor y su utilidad en algunas ecuaciones diofantinas.
2025-04-11
13:30hrs.
Felipe Hernández. PUC
Producto simétrico de curvas
Sala 1
Abstract:
En esta charla estudiaremos el producto simétrico de curvas, más en particular, veremos que es representable y suave.
2025-04-04
13:30hrs.
José Cuevas Barrientos. PUC
Alturas y abc implica Mordell
Sala 1
Abstract:
En esta charla expondremos cómo deducir la conjetura de Mordell efectiva (con cotas de alturas para puntos racionales) a partir de la conjetura abc empleando la máquina de alturas de Weil.
2025-03-28
14:50hrs.
José Cuevas. PUC
Teorema de Belyi
Sala 1
Abstract:
En este artículo se da un resumen de la versión de Grothendieck del teorema de existencia de Riemann que dice que «todo recubrimiento topológico entre las analitificaciones de esquemas algebraicos sobre $\mathbb{C}$ viene de un morfismo étale» y se aplica para probar el teorema de Belyi de que una curva proyectiva y suave sobre $\mathbb{C}$ está definida sobre $\mathbb{Q}^{\rm alg}$ si y sólo si posee un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ que se ramifica en tres puntos.
2024-06-28
10:00hrs.
Matías Alvarado. PUC
Modularidad y conjetura abc (parte II)
Sala 3
Abstract:
En esta charla partiremos introduciendo la noción de modularidad de curvas elípticas, la cual tiene estrecha relación con los objetos introducidos en las dos charlas pasadas (formas modulares y curvas modulares). Luego exploramos algunas propiedades de las parametrizaciones modulares y estudiaremos algunas conjeturas relacionadas a esta. Para finalizar veremos la conexión entre estas conjeturas y otras que ya hemos visitado en el seminario.
2024-06-21
10:00hrs.
Matías Alvarado. PUC
Modularidad y conjetura abc
Sala 3
Abstract:
En esta charla comenzaremos con un repaso de la teoría de formas modulares. Luego estudiaremos el problema de modularidad de curvas elípticas y finalizamos relacionando la modularidad con la conjetura $abc$.
2024-06-14
10:00hrs.
Matías Alvarado. PUC
Formas y curvas modulares
Sala 3
Abstract:
Una de las aproximaciones hacia la conjetura $abc$ que hemos estudiado es el estudio de la aritmética de curvas elípticas. La conexión de estas últimas con curvas modulares y formas modulares ha sido muy fructífero en los últimos años, permitiendo probar por ejemplo el último teorema de Fermat. En esta charla definiremos las formas y curvas modulares para tenerlas como herramientas para charlas futuras.
2024-06-07
10:00hrs.
Jerson Caro. Boston University
Propiedades Diofánticas en valores especiales de la función zeta de Dedekind
Sala 3
Abstract:
De acuerdo con un teorema de Northcott, cualquier conjunto de números algebraicos de altura acotada y grado acotado es finito. Propiedades análogas de finitud son también satisfechas por otras alturas, por ejemplo, la altura de Faltings. 
Dadas las relaciones conjeturales entre alturas y valores especiales de funciones $L$ (la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer el ejemplo más renombrado), es natural preguntarse si valores especiales de funciones $L$ satisfacen una propiedad de Northcott similar. 
En esta charla presentaré un trabajo en progreso con Fabien Pazuki y Riccardo Pengo en el que particularmente se demuestra que la función $\zeta$ de Dedekind en $1/2$ no satisface la propiedad de Northcott.
2024-05-24
10:00hrs.
Héctor Pastén. UC
La altura de Faltings de una curva elíptica
Sala 3
Abstract:
Explicaremos qué es la altura de Faltings de una curva elíptica, y cómo se relaciona a otros invariantes tales como el discriminante minimal y el invariante j. Con esto, enunciaremos la llamada "conjetura de la altura" y veremos que ésta implica la conjetura abc.
2024-05-17
10:00hrs.
Francisco Gallardo. UC
Formas Lineales en Logaritmos
Sala 3
Abstract:

En esta charla presentaremos la técnica de las Formas Lineales en Logaritmos, la cual entrega diversas mejoras en la resolución del problema ABC subexponencial.

2024-05-10
10:00hrs.
Ignacio Henríquez. UC
ABC y la conjetura de Szpiro
Sala 3
Abstract:
En esta charla estudiaremos la relación entre la conjetura ABC y la conjetura de Szpiro y veremos que son 'casi equivalentes'. Más precisamente, mostraremos que la conjetura ABC implica la conjetura de Szpiro y que esta última implica una versión un poco más débil de la primera.
2024-04-26
10:00hrs.
Rocío Sepúlveda Manzo. UC
Nociones generales de curvas elípticas
Sala 3
Abstract:
Se realizará un repaso general sobre las curvas elípticas y sus propiedades, con especial énfasis en invariantes como el discriminante minimal y el conductor con objetivo de poder formular la conjetura de Szpiro.
2024-04-19
9:40hrs.
Héctor Pastén. UC
Introducción a la conjetura ABC
Sala 3
Abstract:
Explicaremos el enunciado e historia de la conjetura $abc$, su relación con curvas elípticas, y daremos un poco de contexto para entender su relevancia.