Seminario de la Conjetura abc y temas afines

Un seminario acerca de la conjetura abc y sus variaciones en geometría diofantina, y otras tendencias en teoría de números.
(Casi) todos los viernes, a las (13:30-14:40 hrs.).
La página web del seminario es: josecuevas.xyz/teach/seminario-abc/
2025-06-13
13:30hrs.
José Cuevas Barrientos. PUC
Sobre el teorema de Chevalley-Weil
Sala 1
Abstract:
Daremos una exposición acerca del teorema de Chevalley-Weil en geometría diofántica y explicaremos por qué el análogo para puntos algebraicos falla en general.
2025-06-06
13:30hrs.
Benjamín Castillo. PUC
Una cota inferior para la altura de un número algebraico
Sala 1
Abstract:
Estudiaremos la demostración de un resultado de Silverman, en el cual obtuvo una cota inferior para la altura multiplicativa de un número algebraico en términos del discriminante de un cuerpo de números.
2025-05-16
13:30hrs.
Felipe Inostroza. PUC
Sobre la fórmula de Riemann-Hurwitz
Sala 1
Abstract:
En esta charla se dará un repaso de la fórmula de Riemann-Hurwitz para superficies de Riamnn junto con aplicaciones.
2025-04-25
13:30hrs.
Héctor Pastén. PUC
Sobre el máximo común divisor
Sala 1
Abstract:
Vamos a explicar qué es el máximo común divisor y su utilidad en algunas ecuaciones diofantinas.
2025-04-11
13:30hrs.
Felipe Hernández. PUC
Producto simétrico de curvas
Sala 1
Abstract:
En esta charla estudiaremos el producto simétrico de curvas, más en particular, veremos que es representable y suave.
2025-04-04
13:30hrs.
José Cuevas Barrientos. PUC
Alturas y abc implica Mordell
Sala 1
Abstract:
En esta charla expondremos cómo deducir la conjetura de Mordell efectiva (con cotas de alturas para puntos racionales) a partir de la conjetura abc empleando la máquina de alturas de Weil.
2025-03-28
14:50hrs.
José Cuevas. PUC
Teorema de Belyi
Sala 1
Abstract:
En este artículo se da un resumen de la versión de Grothendieck del teorema de existencia de Riemann que dice que «todo recubrimiento topológico entre las analitificaciones de esquemas algebraicos sobre $\mathbb{C}$ viene de un morfismo étale» y se aplica para probar el teorema de Belyi de que una curva proyectiva y suave sobre $\mathbb{C}$ está definida sobre $\mathbb{Q}^{\rm alg}$ si y sólo si posee un morfismo hacia $\mathbb{P}^1$ que se ramifica en tres puntos.
2024-06-28
10:00hrs.
Matías Alvarado. PUC
Modularidad y conjetura abc (parte II)
Sala 3
Abstract:
En esta charla partiremos introduciendo la noción de modularidad de curvas elípticas, la cual tiene estrecha relación con los objetos introducidos en las dos charlas pasadas (formas modulares y curvas modulares). Luego exploramos algunas propiedades de las parametrizaciones modulares y estudiaremos algunas conjeturas relacionadas a esta. Para finalizar veremos la conexión entre estas conjeturas y otras que ya hemos visitado en el seminario.
2024-06-21
10:00hrs.
Matías Alvarado. PUC
Modularidad y conjetura abc
Sala 3
Abstract:
En esta charla comenzaremos con un repaso de la teoría de formas modulares. Luego estudiaremos el problema de modularidad de curvas elípticas y finalizamos relacionando la modularidad con la conjetura $abc$.
2024-06-14
10:00hrs.
Matías Alvarado. PUC
Formas y curvas modulares
Sala 3
Abstract:
Una de las aproximaciones hacia la conjetura $abc$ que hemos estudiado es el estudio de la aritmética de curvas elípticas. La conexión de estas últimas con curvas modulares y formas modulares ha sido muy fructífero en los últimos años, permitiendo probar por ejemplo el último teorema de Fermat. En esta charla definiremos las formas y curvas modulares para tenerlas como herramientas para charlas futuras.
2024-06-07
10:00hrs.
Jerson Caro. Boston University
Propiedades Diofánticas en valores especiales de la función zeta de Dedekind
Sala 3
Abstract:
De acuerdo con un teorema de Northcott, cualquier conjunto de números algebraicos de altura acotada y grado acotado es finito. Propiedades análogas de finitud son también satisfechas por otras alturas, por ejemplo, la altura de Faltings. 
Dadas las relaciones conjeturales entre alturas y valores especiales de funciones $L$ (la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer el ejemplo más renombrado), es natural preguntarse si valores especiales de funciones $L$ satisfacen una propiedad de Northcott similar. 
En esta charla presentaré un trabajo en progreso con Fabien Pazuki y Riccardo Pengo en el que particularmente se demuestra que la función $\zeta$ de Dedekind en $1/2$ no satisface la propiedad de Northcott.
2024-05-24
10:00hrs.
Héctor Pastén. UC
La altura de Faltings de una curva elíptica
Sala 3
Abstract:
Explicaremos qué es la altura de Faltings de una curva elíptica, y cómo se relaciona a otros invariantes tales como el discriminante minimal y el invariante j. Con esto, enunciaremos la llamada "conjetura de la altura" y veremos que ésta implica la conjetura abc.
2024-05-17
10:00hrs.
Francisco Gallardo. UC
Formas Lineales en Logaritmos
Sala 3
Abstract:

En esta charla presentaremos la técnica de las Formas Lineales en Logaritmos, la cual entrega diversas mejoras en la resolución del problema ABC subexponencial.

2024-05-10
10:00hrs.
Ignacio Henríquez. UC
ABC y la conjetura de Szpiro
Sala 3
Abstract:
En esta charla estudiaremos la relación entre la conjetura ABC y la conjetura de Szpiro y veremos que son 'casi equivalentes'. Más precisamente, mostraremos que la conjetura ABC implica la conjetura de Szpiro y que esta última implica una versión un poco más débil de la primera.
2024-04-26
10:00hrs.
Rocío Sepúlveda Manzo. UC
Nociones generales de curvas elípticas
Sala 3
Abstract:
Se realizará un repaso general sobre las curvas elípticas y sus propiedades, con especial énfasis en invariantes como el discriminante minimal y el conductor con objetivo de poder formular la conjetura de Szpiro.
2024-04-19
9:40hrs.
Héctor Pastén. UC
Introducción a la conjetura ABC
Sala 3
Abstract:
Explicaremos el enunciado e historia de la conjetura $abc$, su relación con curvas elípticas, y daremos un poco de contexto para entender su relevancia.