Coloquio de Matemática UC

El Coloquio de Matemática UC está dirigido a todo la comunidad matemática de la UC y en particular a los estudiantes de pregrado y posgrado, por lo cual se presentan de manera general los temas principales del expositor, con el propósito de motivar a los estudiantes. Esta es una instancia excelente para nuestros estudiantes de posgrado, por ejemplo.

El sitio anterior del coloquio con información sobre charlas anteriores se puede encontrar aquí.

El público se compone de personas que tienen una formación general en matemática. Estamos en particular tratando que los coloquios sean más bien generales, dirigidos principalmente a estudiantes de Matemática. Las charlas duran 50 minutos (mas discusión). Por favor adaptar el nivel de los primeros 25 minutos (por menos) de su presentación a este público. Nosotros consideramos estas sugerencias en el sitio de AMS útiles:  http://www.ams.org/profession/leaders/workshops/gcoll.pdf
2022-10-21
16:00hrs.
Avelio Sepúlveda. U de Chile
An overview on the level set of the two-dimensional Gaussian free field
Edificio Villanueva
Abstract:
The Gaussian free field (GFF) is the generalisation of Brownian motion when time is replaced by a two-dimensional domain. And in the last twenty years, it has been a cornerstone in the study of two-dimensional random geometry, as it is a tractable object that satisfies the conformal invariant property that is expected to appear in the scaling limit of critical systems in dimension two. In this colloquium, I will discuss the theory that allows us to define the level set for this field.
 
More precisely, the colloquium is expected to be accessible to students and researchers that understand the basic results in probability theory, and thus I will (informally) introduce the Brownian motion and the GFF. Then I will discuss 
their regularity and their Markov property. To finish, I will give the idea used to construct their level sets and to study their properties. This voyage will take us in such different fields as probability theory, complex analysis, partial differential equations, and fractal geometry.
2022-09-23
16:00hrs.
Cristóbal Guzmán. UC Chile
Una Introducción a la Privacidad Diferencial
Edificio Villanueva
Abstract:
El avance científico y tecnológico depende en gran medida de la capacidad de analizar grandes volúmenes de datos, los cuales muchas veces contienen información confidencial de usuarios. Esta situación presenta el desafío de compartir y analizar estos datos, manteniendo la privacidad de los usuarios. Por ya más de una década, la privacidad diferencial se ha establecido como un estándar efectivo para cuantificar el riesgo de privacidad asociado al uso de datos por parte de un algoritmo. En esta charla presentaremos la noción de privacidad diferencial junto con algunos de sus mecanismos básicos. Si el tiempo lo permite, nos enfocaremos en mi investigación más reciente en optimización estocástica diferencialmente privada, que resulta útil en varios modelos usados en aprendizaje automático. 
2022-08-19
16:00hrs.
Daniel Barrera. Usach
Geometría de las Variedades de Hecke y funciones L
Edificio Villanueva
Abstract:
El estudio de los valores especiales de la función Zeta de Riemann ha llamado la atención de muchos matemáticos. Este estudio por ejemplo llevó a Kummer (siglo 19) y Kubota-Leopold (años 60) a deducir la existencia de la función zeta en mundos no arquimedeanos.   
     
En los 70, Serre descubrió una íntima conexión entre este fenómeno y la idea de deformación no arquimedeana en la teoría de Formas Automorfas. Esta teoría acababa de ocupar un rol protagónico en el célebre programa de Langlands, lo que influyó en el desarrollo de las ideas de Serre y los grandes avances aparecidos en las últimas décadas. En la actualidad esta área se concentra en la geometría local de las llamadas variedades de Hecke y su interacción con la teoría de las funciones L p-ádicas.   

En esta charla explicaré las ideas de Serre y algunos resultados recientes en esta área de investigación.
 
 
2022-06-03
16:00hrs.
Bena Tshishiku. Brown University
Mapping class groups and their cohomology
1er piso Edificio Villanueva
Abstract:
The mapping class group Mod(M) of a smooth manifold M is the group of diffeomorphisms of M, modulo isotopy. Mapping class groups play an important role in geometric topology, especially in low dimensions, and they have connections to algebraic geometry, homotopy theory, dynamics, and more. In this talk, we will highlight some of these connections with a focus on the problem of computing the cohomology of mapping class groups of surfaces. 
2022-05-13
16:00hrs.
Dieter Mitsche . UC Chile
Grafos aleatorios hiperbólicos
Edificio Felipe Villanueva
Abstract:
Un grafo aleatorio es un grafo que es generado por algún tipo de proceso aleatorio. En el modelo más simple cada par de vértices está conectado por una arista con la misma probabilidad, independiente de otras aristas. Este modelo fue introducido por Erd?s y Rényi en los años 60: su resultado principal fue la aparición rápida de una componente conexa de tamaño lineal. Luego, con la idea de formalizar interferencias entre antenas, el modelo de grafos aleatorios geométricos fue introducido: los vértices están distribuidos uniformemente en el plano, y dos vértices están conectados por una arista si su distancia es inferior a un cierto radio umbral. 

Más recientemente, otros modelos de grafos aleatorios para redes complejas (como las conexiones de Internet, las conexiones de redes de telecomunicaciones, redes sociales y redes biológicas) fueron introducidos: el modelo Preferential Attachment, grafos inhomogéneos aleatorios geométricos, y también grafos hiperbólicos aleatorios. 

En esta charla explicaremos brevemente los modelos básicos de grafos aleatorios antes de discutir grafos hiperbólicos aleatorios más en detalle.
2022-04-01
16:00hrs.
Federico Fuentes. UC Chile
Estabilidad global de fluidos regidos por las ecuaciones de Navier-Stokes
Edificio Felipe Villanueva
Abstract:
Una pregunta fundamental en la mecánica de fluidos es si un flujo laminar es no-linealmente estable a cualquier perturbación; es decir si una perturbación desaparece con el tiempo y el flujo vuelve a su estado laminar. Para una geometría y condiciones de frontera dadas, esto no siempre es cierto pues depende del número de Reynolds (a veces simplificado como la "viscosidad"). Solo para números de Reynolds suficientemente bajos (i.e. viscosidades suficientemente altas) se dará esta situación en donde el flujo laminar se dice que es globalmente estable. La manera usual de verificar este tipo de estabilidad, llamado el método de energía, que data a la primera década del siglo XX, es mostrar que la energía de la perturbación decae monotónicamente debajo de cierto número de Reynolds, llamado el límite de estabilidad energético. Sin embargo, para muchos flujos se ha observado experimentalmente que el flujo sigue siendo estable por encima del límite de estabilidad energético, pero matemáticamente esto no se había podido demostrar hasta hace poco. En esta charla introductoria discutiremos la estabilidad de fluidos, el método de energía, y nuevas metodologías que usan algoritmos modernos y se inspiran en resultados de geometría algebraica real para determinar la estabilidad global de fluidos por encima del límite de estabilidad energético.
2021-11-19
16:00hrs.
Laura Eslava. Universidad Nacional Autónoma de México
Imperios en la evolución de redes
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
En las redes sociales suelen encontrarse nodos que conectan a una gran parte de la red; a éstos los llamamos imperios. ¿Cómo es que se forman estos imperios? ¿Cómo podemos encontrarlos? Y ¿cómo podemos utilizarlos para proteger o destruir las redes?


Una forma simplificada de entender las redes sociales es a través de los modelos aleatorios de crecimiento de árboles. En esta plática definimos dos modelos básicos que tienen sus orígenes en 1970; discutiremos cómo es que la selección del método aleatorio determina las características de los imperios y veremos algunas aplicaciones de ataques dirigidos a redes.

2021-11-05
15:00hrs.
Pablo Shmerkin. The University of British Columbia
Contando distancias: los problemas de Erdös y Falconer
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
¿Cómo se relacionan los tamaños de un subconjunto del plano (o algún otro espacio métrico) y el tamaño del conjunto de distancias determinadas por pares de puntos del conjunto? Esta pregunta, elemental y muy simple de plantear, resulta ser muy difícil de responder y tener conexiones con numerosas áreas de la combinatoria y el análisis. En la charla voy a dar una introducción a dos versiones de esta pregunta, los problemas de Erdös y de Falconer, que resultan de medir "tamaño" utilizando cardinalidad y dimensión de Hausdorff, respectivamente (no se requerirá familiaridad previa con dimensión de Hausdorff ni ningún otro concepto avanzado).
2021-10-15
16:00hrs.
José Manuel Gómez. Universidad Nacional de Colombia
Espacios de parejas que conmutan en grupos de Lie y espacios de representaciones
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
El objetivo de esta charla es estudiar los espacios de parejas que conmutan en grupos de Lie y los correspondientes espacios de representaciones.  En particular vamos a ver que estos espacios de representaciones se pueden describir como ciertos espacios proyectivos con pesos.  A lo largo de la charla vamos a explorar algunos ejemplos ilustrativos.
2021-09-10
16:00hrs.
José González. University of California, Riverside
Un vistazo a la geometría tórica
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
La geometría algebraica estudia las variedades algebraicas, las cuales son los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas en el espacio afín complejo C^n y en el espacio proyectivo P^n. En esta charla hablaremos de una clase de variedades algebraicas llamadas variedades tóricas las cuales tienen una acción de un grupo llamado el toro algebraico. La motivación para considerar las variedades tóricas es que la acción del toro permite estudiarlas usando una colección de conos convexos llamada un abanico. El principio guía es que todas las propiedades geométricas de la variedad tórica (como por ejemplo suavidad, compacidad y proyectividad), tienen una interpretación concreta en términos de su abanico. Esto permite usar las variedades tóricas como una gran fuente de ejemplos y de intuición para cualquiera que esté interesado en estudiar o aplicar la geometría algebraica.
2021-08-27
16:00hrs.
Benjamín Palacios . UC Chile
Problemas inversos, imágenes médicas y análisis microlocal
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
Esta charla busca introducir a los/las participantes al análisis de problemas inversos (en EDP’s) mediante sus numerosas aplicaciones al campo de las imágenes médicas. Veremos ejemplos de problemas matemáticos clásicos que surgen a partir de técnicas de imágenes médicas así como también algunos más recientes. Por último, presentaremos de manera superficial las ideas principales detrás de una de las herramientas más relevantes en el estudio de problemas inversos: el análisis microlocal. 
2021-05-28
16:00hrs.
Mauricio Bustamante. UC Chile
Espacios modulares asociados a variedades de curvatura negativa
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
Los espacios modulares son espacios cuyos puntos representan todos los objetos matemáticos del mismo tipo. De modo que la topología de éstos espacios captura la complejidad de las posibles deformaciones de un objeto matemático.

En esta charla vamos a ver cómo los espacios modulares aparecen de forma natural en varias áreas de las matemáticas y luego nos enfocaremos en un objeto matemático específico: una variedad riemanniana de curvatura seccional negativa. Discutiremos varios métodos que se pueden usar para entender la topología de algunos espacios modulares asociados a dichas variedades y concluiremos con varios problemas que se pueden plantear en esta dirección.

Esta charla será accesible para estudiantes de pregrado avanzados y estudiantes de posgrado.
2021-04-23
16:00hrs.
Aníbal Velozo. UC Chile
Grafos, caminos periódicos y coding
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
Un sistema dinámico consta de dos componentes, un espacio X y una transformación T que actúa en X (concretamente, una función T:X->X). Una pregunta natural en este contexto es la siguiente: dado un punto x en X ¿qué podemos decir de T^n(x)=T(T(...(T(x))...)), cuando n es grande?
En muchos casos (la mayoría) una respuesta precisa de cómo se va moviendo el punto x al aplicar T está completamente fuera de nuestro alcance. (¿Han escuchado del efecto mariposa?) En esta charla discutiremos como modelos combinatoriales (grafos) pueden usarse para entender un sistema dinámico y dar luz a la pregunta inicial. Un problema que nos interesara responder es el siguiente: 

Sea G=(V,E) un grafo (donde V es el conjunto de vértices y E el conjunto de aristas) y definamos a(n) como la cantidad de caminos cerrados de largo n en G. ¿Cuál es el orden de crecimiento de la secuencia (a(n))_n?
2021-03-19
16:00hrs.
Amal Taarabt. UC Chile
PROPIEDADES DE TRANSPORTE PARA MODELOS DE LA MATERIA CONDENSADA
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
El Transporte electrónico es un objeto central en el estudio de la conducción en la materia condensada. Recientemente, el desarrollo de nuevos materiales como el grafeno ha abierto las puertas a nuevas tecnolog ??as con aplicaciones en nano-ingeniería y telecomunicaciones. Desde un punto de vista matemático, la física de estos sistemas se codifica en las propiedades espectrales y dinámicas de operadores aleatorios. El modelo más simple para la dinámica de los portadores de carga en una estructura de tipo grafeno es el Laplaciano discreto sobre un reticulado hexagonal, pero a energías de excitación bajas esta dinámica se describe en realidad mediante un operador de Dirac bidimensional sin masa.
 
En esta charla, veremos una introducción heurística al tema de localización dinámica y presentaremos algunos resultados recientes sobre las propiedades espectrales y dinámicas de operadores de Dirac aleatorios y notablemente en contextos donde se rompe la ergodicidad y donde se observa un fenómeno de transición entre regímenes de localización y delocalización.
2020-11-20
16:00hrs.
Joaquín Fontbona. Universidad de Chile
Propagación de caos: de la ecuación de Boltzmann a redes neuronales
https://reuna.zoom.us/j/91482958766
Abstract:
En esta charla presentaré la noción de propagación de caos, introducida por Kaç en los 50’s al buscar una justificación matemática de la ecuación de Boltzmann, como límite de sistemas microscópicos aleatorios en interacción, y que, básicamente, corresponde a la independencia asintótica de los elementos de un sistema aleatorio intercambiable finito, cuando el tamaño de este tiende a infinito.  

Veremos en qué sentido esta propiedad generaliza la ley de grandes números,  cómo se relaciona con resultados probabilistas clásicos del siglo XX, tales como el Teorea de De Finetti y el Teorema de Sanov y cómo, de manera general, permite justificar que familias importantes de EDPs de evolución no lineales aparecen matemáticamente como el límite “de campo medio” de sistemas estocásticos Markovianos de partículas en interacción.   

Veremos también cómo se puede “cuantificar” la propagación de caos, con ayuda de la teoría de transporte óptimo de masa, así como su relación con la entropía, y resultados recientes de propagación de caos cuantitativos para la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea.   

Finalmente, discutiremos como esta propiedad ha ayudado a explicar matemáticamente, en los últimos 2 o 3 años, por qué las redes neuronal ampliamente usadas  en aprendizaje de máquinas  son tan efectivas en “aprender de manera generalizable”, cuando son entrenadas con algoritmos de optimización “en línea” como el gradiente estocásitico.
2020-11-06
16:00hrs.
Constanza Rojas-Molina. Cy Cergy Paris Université
Operadores de Schrödinger aleatorios y localización de electrones en un medio aleatorio
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
La teoría de operadores de Schrödinger aleatorios surgió a fines de los años 70 para dar una descripción rigurosa de la ausencia de propagación de electrones en medios desordenados, lo que hoy es conocido como localización de Anderson. Este fenómeno, originalmente observado por el físico P.W. Anderson, es una consecuencia del desorden presente en un material con impurezas. En las últimas décadas, la teoría de operadores aleatorios ha sido ampliamente desarrollada y generalizada a una gran variedad de modelos. Sin embargo, a pesar de que hoy tenemos bastante información sobre el fenómeno de localización, algunos de los problemas planteados inicialmente en la teoría quedan aún abiertos. Un ejemplo de esto es la transición entre estados localizados y deslocalizados, que sigue siendo una fuerza detrás del desarrollo de esta teoría.

En esta charla, veremos una introducción al tema de los operadores de Schrödinger aleatorios, revisaremos algunos resultados recientes y discutiremos cómo esta teoría encuentra nuevas aplicaciones hoy motivadas por conexiones con ciertas marchas aleatorias en diferentes contextos, como por ejemplo, en modelos de marchas cuánticas, o en marchas de largo alcance.
2020-10-23
16:00hrs.
Santiago Saglietti. UC Chile
Un paseo (aleatorio) por los procesos de ramificación de Galton-Watson
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
En la Inglaterra del siglo XIX, había preocupación entre los Victorianos porque los apellidos aristocráticos mostraban una tendencia a extinguirse. No dispuesto a admitir sin fundamentos la hipótesis de que las familias "distinguidas" son más propensas a extinguirse que las "ordinarias", en 1873 Francis Galton reconoció que un primer paso en el estudio de dicha hipótesis era el de determinar la probabilidad de que el árbol genealógico de una familia ordinaria desapareciese, utilizando datos de fertilidad de población general. Por tal motivo, formuló en un volumen del Educational Times de dicho año el problema de extinción de las familias como sigue: 
 
"Sean p(0), p(1), p(2),... las probabilidades de que un hombre tenga 0,1,2,... hijos, y supongamos que cada hijo tiene las mismas probabilidades para sus propios hijos, y así siguiendo. ¿Cuál es la probabilidad de que la línea familiar de hijos varones se extinga luego de r generaciones?"
 
Un tiempo más tarde, el reverendo H.W. Watson resolvió (erróneamente!) el problema, dando origen a la teoría de procesos de ramificación, que hoy en día es un eje central de la teoría de probabilidad, con aplicaciones diversas en Biología, Genética de poblaciones, Química y Física, entre otras disciplinas.
 
En esta charla presentaremos el modelo original de Galton y Watson, comentaremos algunas de sus propiedades básicas y discutiremos su influencia sobre algunos modelos probabilísticos que se estudian arduamente hoy en día. No se requieren para la charla conocimientos previos en probabilidad (sólo un poco de intuición probabilística!). 
 
2020-10-09
16:00hrs.
Daniel Coronel . Universidad Católica
Transiciones de fase en sistemas dinámicos.
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
 Una herramienta esencial en el estudio de sistemas dinámicos caóticos son las medidas de probabilidad invariantes por la dinámica 
pues estas permiten hacer estadística sobre las órbitas del sistema. Pero un sistema caótico tiene muchas medidas invariantes y no todas 
son útiles para describir a la mayoría de las órbitas. En esta charla mostraremos cómo usando ideas de la mecánica estadística podemos 
obtener buenas medidas para el estudio estadístico de las órbitas del sistema. Motivados por esta conexión estudiaremos 
el fenómeno de  transiciones de fase en sistemas dinámicos. Revisaremos resultados recientes sobre transiciones de fase  y 
discutiremos  problemas abiertos algunos de los cuales están en la intersección de la mecánica estadística y  los sistemas dinámicos.
 
2020-09-04
16:00hrs.
Álvaro Liendo. Universidad de Talca
Caracterización de variedades algebraicas por su grupo de simetrías
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
Una antigua pregunta que emana del programa de Erlangen de Klein puede
ser fraseada en términos modernos de la siguiente forma: ¿Se puede
caracterizar un objeto geométrico por su grupo de simetrías? La
primera parte de esta charla consiste en una introducción al problema
para una audiencia general con algunos ejemplos seleccionados de fuera
del área de geometría algebraica.

En la segunda parte de la charla entramos al caso de la geometría
algebraica donde demostramos que, en general, la respuesta a la
pregunta anterior es negativa. Sin embargo, después de restringir
fuertemente la clase de variedades estudiadas logramos una respuesta
afirmativa. En efecto, demostramos que las superficies tóricas affines
están únicamente determinadas por su grupo de automorfismos regulares
en la categoría de de las variedades normales. Esto requiere aplicar
resultados recientes sobre el grupo de Cremona en dos variables.
2020-08-21
16:00hrs.
Sebastián Herreros. Pucv
Sobre la función j de Klein
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
La función j de Klein es una cierta función analítica definida en el semiplano superior complejo que es invariante respecto a la acción del grupo modular. Esta definición, sin embargo, esconde muchas de las propiedades aritméticas que la función j posee, las cuales son de gran importancia en teoría de números. En esta charla presentaremos esta función y describiremos algunas de estas propiedades, comparándola con otras funciones clásicas que poseen características similares, como la función exponencial o las funciones elípticas de Weierstrass.