Seminario de Sistemas Dinámicos

2024-06-17
16:30hrs.

Mauricio Bustamante. Pontificia Universidad Católica de Chile
Toros exóticos y acciones de SL(d,Z)
Sala 2
Abstract:
Una de las características más distintivas del toro $d$-dimensional (i.e. el producto de d círculos) $\mathbb{T}^d$ es que admite una acción $\mathcal{C}^{\infty} $ efectiva del grupo $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z})$ de matrices $d\times d$ con entradas enteras. Uno podría preguntarse si una acción así (o cualquier acción no trivial) también existe sobre toros exóticos, es decir, variedades diferenciables que son homeomorfas pero no difeomorfas a $\mathbb{T}^d$. En mi charla, luego de revisar algunas generalidades sobre variedades exóticas, voy a discutir esta pregunta.

2024-06-10
16:30hrs.

Sebastián Burgos. Penn State University
Decaimiento de correlaciones para ciertos atractores no uniformemente hiperbólicos
Sala 2
Abstract:
Un problema clásico en sistemas dinámicos es conocido como el problema de realización, el cual consiste en preguntar si dada una variedad compacta M, uno puede construir un difeomorfismo en M con ciertas propiedades ergódicas. Vamos a estudiar el decaimiento de correlaciones para ciertos sistemas dinámicos no uniformemente hiperbólicos con respecto a su medida SRB. El sistema g que vamos a considerar se obtiene de un difeomorfismo uniformemente hiperbólico f al que se le aplica el procedimiento de desaceleración. Bajo ciertas hipótesis en f y en la vecindad donde se aplica la desaceleración, concluimos que g admite decaimiento polinomial de correlaciones con respecto a la medida SRB y la clase de potenciales Hölder.

2024-06-03
16:30hrs.

Néstor Jara Lagos. Universidad de Chile
Problemas respecto a la invarianza del espectro de dicotomia no uniforme
Sala 2
Abstract:
En su tesis doctoral, S. Siegmund demostró que si dos sistemas eran cinematicamente similares, entones tenian el mismo espectro de dicotomia exponencial. En los ultimos años se han propuesto muchas generalizaciones a este resultado para abarcar las dicotomias no uniformes. En esta charla demuestro que estas generalizaciones no se siguen realmente, ya que se basan en hipótesis que no se alcanzan de manera general. Junto con ello, presento ejemplos explicitos y ademas propongo una alternativa más debil de la invarianza espectral, empleando vecindades no triviales.

2024-05-27
16:30hrs.

Daniel Coronel. Pontificia Universidad Católica de Chile
Regla de las fases de Gibbs para potenciales Hölder en la familia de Manneville-Pomeau
Sala 2
Abstract:
En esta charla daremos una clasificación de los potenciales Hölder para las dinámicas en la familia de Manneville-Pomeau. Esta clasificación depende de la propiedades termodinámicas de los potenciales. Mostraremos que cuando existen potenciales con transiciones de fase hay dos fases  en el espacio de potenciales, cada fase es un abierto conexo, y la unión de estas dos fases es densa. También mostraremos que estas dos fases tienen una frontera común y que esta frontera es homeomorfa a un subespacio de codimensión 1.

2024-05-13
16:30hrs.

Álvaro Bustos. Pontificia Universidad Católica de Chile
El semigrupo de columnas de una sustitución y factores de su espacio de shift
Sala 1
Abstract:
Los subshifts sustitutivos constituyen una clase muy estudiada de sistemas simbólicos de naturaleza «autosimilar», siendo una rica fuente de ejemplos de sistemas minimales aperiódicos de entropía nula. Dentro de estos sistemas cabe destacar aquellos en que la sustitución es de largo constante, lo que proporciona un nivel adicional de «rigidez estructural» que vuelve manejables diversos problemas dinámicos de interés, como p.ej., el cómputo del grupo de automorfismos, de los autovalores del sistema o su factor equicontinuo maximal.

Un objeto algebraico de interés en este contexto es el semigrupo de columnas de la sustitución, S(θ), que es un subsemigrupo del semigrupo completo de transformaciones ?(?) del alfabeto ?. Las características algebraicas de este semigrupo se pueden relacionar con propiedades dinámicas del subshift asociado X(θ). Discutiremos la relación que existe entre los ideales del semigrupo S(θ) y la existencia de ciertos factores dinámicos sustitutivos de X(θ), en particular, la existencia de factores sustitutivos biyectivos o factores sustitutivos de tipo Toeplitz, para los cuales esta caracterización algebraica lleva a un algoritmo que permite computar la sustitución asociada a un factor de este tipo o mostrar que tal factor no existe.

Éste es un trabajo conjunto con Johannes Kellendonk y Reem Yassawi.

2024-05-06
16:30hrs.

Julien Boulanger. Université Grenoble Alpes/institut Fourier
Algebraic intersections in translation surfaces
Sala de Seminarios 7° Piso, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile
Abstract:
The purpose of this talk is to discuss the maximal possible (algebraic) intersection of closed curves of a given length on translation surfaces. One way to quantify this is to define the so-called "interaction strength" of the surface. The (moduli) space of translation surfaces comes with a natural SL(2,R) action and we are interested in understanding the behaviour of the interaction stength under this action.

After having introduced translation surfaces and the SL(2,R) action, we will give a few geometric ideas and focus on the case of the Golden L for which we can explicitely describe the behaviour of the interaction strength in the SL(2,R)-orbit. 

2024-04-22
16:30hrs.

María Isabel Cortez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Familias test para comprobar la promediabilidad de grupos residualmente finitos
Sala 2
Abstract:
Un clásico resultado establece que un grupo numerable $G$ es promediable (amenable), si y sólo si toda acción continua de $G$ sobre un espacio métrico compacto admite medidas de probabilidad invariantes. Motivados por esta caracterización de promediabilidad,  Giordano y de la Harpe mostraron que para testear promediabilidad de un grupo $G$,  basta con estudiar las acciones continuas de $G$ sobre el Cantor. En otras palabras, probaron que las acciones continuas sobre el Cantor son una familia test para la promediabilidad de un grupo numerable. Una aplicación directa del resultado de Giordano y de la Harpe permite restringir la familia test a los sistemas simbólicos.  Recientemente,   Frisch, Kechris, Shinko y Vidnyànszky  probaron que la promediabilidad de un grupo numerable puede testearse  acotando la familia de sistemas simbólicos a los subshifts definidos sobre el alfabeto $\{0,1\}$. Es natural entonces preguntarse si se puede acotar aún más la familia test, o si es posible encontrar otras clases de sistemas dinámicos que sean útiles para testear promediabilidad.

En este trabajo, nos enfocamos en los grupos $G$ que admiten acciones equicontinuas sobre el Cantor (grupos cuyo subgrupo residual no es de índice finito, por ejemplo, los grupos infinitos que son residualmente finitos), probando que el grupo $G$ es promediable si y sólo si toda extensión simbólica casi 1-1 de una acción minimal equicontinua sobre el Cantor, admite medidas de probabilidad invariantes. Es decir, el grupo $G$ es promediable si y sólo si todo $G$-subshift de Toeplitz posee medidas de probabilidad invariantes. Este es un trabajo en conjunto con Jaime Gómez.

2024-04-15
16:30hrs.

Mathieu Sablik. Université Toulouse III - Paul Sabatier
Characterisation of the Set of Ground States of Uniformly Chaotic Finite-Range Lattice Models
Sala de Seminarios (7° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
The study of statistical physics models allows mathematics to offer another perspective on empirically observable phenomena. A point of interest is in particular the behavior of these models when the temperature tends towards 0, analogous to the emergence of complex crystal structures in materials. A way to model that is to consider tiling defined by local rules where some matching rules can be broken proportionally to a parameter which is the inverse of the temperature. This correspond to the Gibbs measure of the system and we are interested to the stability of these measures when the temperature goes to 0.

In 2010, Chazottes and Hochman exhibited a three-dimensional potential with local interactions, for which the induced system is chaotic, i.e. no trajectory of the system converges at zero temperature. In this talk we are going to characterize which set of measures can be obtained with such behavior. To do this, we will notably introduce a family of aperiodic tilings whose combinatorial properties make it possible to control entropy, encode Turing machines and "simulate” probability measures.

2024-04-08
16:30hrs.

Andrés Navas. Universidad de Santiago de Chile
Sobre la Topología de Ciertos Grupos de Difeomorfismos
Sala 2, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile

2024-04-01
16:30hrs.

Erwan Lanneau. Université Grenoble Alpes / Institut Fourier
Minimum expansion factors of orientation-reversing pseudo-Anosov maps
Sala de Seminarios (7° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
Pseudo-Anosov maps are prevalent among mapping classes of surfaces. Given a pA map, the expansion factor measures the complexity of its dynamics. It is a classical result that the set of expansion factors (viewed as a subset of the set of real numbers) among all pA maps defined on a fixed surface has a minimum element. This minimum expansion factor can be thought of as the systole of the moduli space for the Teichmüller metric. Its value is not known for the genus larger than three.

In this talk, we will present some recent progress on the asymptotic of this minimum (normalized) expansion factor for orientation reversing Pseudo-Anosov maps. The talk will be elementary.

This is a recent joint work with Livio Liechti and Chi Cheuk Tsang.

2024-03-18
16:30hrs.

Pablo Amster. Universidad de Buenos Aires
Una versión abstracta de la desigualdad de Gronwall
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
¿Es posible considerar el lema de Gronwall como un principio del máximo? En esta charla elemental presentaremos una versión abstracta del lema, en términos de la cota espectral de un operador definido en un látice de Banach. Como consecuencia, deduciremos versiones generalizadas del lema, así como aplicaciones a sistemas discretos y resultados de unicidad para problemas semilineales.

2024-01-22
11:00hrs.

Adrián Esparza. Universidad Austral de Chile
Dominios de Baker hiperbólicos y formalismo termodinámico
Sala 2
Abstract:
Aplicamos técnicas de formalismo termodinámico a una familia de funciones enteras que tiene dominios de Baker de tipo hiperbólico probando la existencia de medidas conformes y obteniendo una fórmula de tipo Bowen para la dimensión de Hausdorff de un subconjunto “dinámicamente bueno” del conjunto de Julia. (Este es un trabajo conjunto con I. Inoquio)

2024-01-15
16:30hrs.

Borys Kuca. Jagiellonian University
Multiple ergodic averages along polynomials for systems of commuting transformations
Sala de Seminarios 7° Piso, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile
Abstract:
The last 50 years have seen tremendous activity at the interface between ergodic theory, combinatorics and number theory that started with Furstenberg’s dynamical proof of the Szemerédi theorem from the 1970s. The goal of this line of research has been to prove new multiple recurrence results and then deduce combinatorial corollaries. To achieve this, one wants to understand the limiting behaviour of relevant multiple ergodic averages. Of particular interest are averages of commuting transformations with polynomial iterates: they play a central role in the polynomial Szemerédi theorem of Bergelson and Leibman. While their norm convergence has been established in a celebrated paper of Walsh, little more has been known for a long time about the form of the limit. In this talk, I will present some recent results on the limits of such averages obtained jointly with Nikos Frantzikinakis and explain how they can be used to answer a number of previously intractable problems at the intersection between ergodic theory and combinatorics.

2024-01-08
16:30hrs.

Neil Mañibo. Universität Bielefeld
Uniquely ergodic subshifts over compactifications of the naturals
Sala de Seminarios 7° Piso, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile
Abstract:
In this talk, we will discuss one-dimensional substitution subshifts over (infinite) compact alphabets and their dynamical properties. As a motivating class, we will focus on shifts generated by a parametrised family of substitutions on certain compactifications of the natural numbers. We will provide a general checkable condition for unique ergodicity that relies on compactness properties of the substitution operator, which the analogue of the substitution matrix for infinite alphabets. This is based on joint work with Dan Rust and Jamie Walton, and Dirk Frettloeh and Alexey Garber.

2023-12-11
16:30hrs.

Víctor Muñoz López. Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Entropía de secuencia y sensibilidad
Sala de Seminarios 7° Piso, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile
Abstract:
En esta charla hablaremos de entropía de secuencia y sensibilidad respecto a una medida. Abordaremos las nociones locales de éstas y veremos las relaciones que hay entre ellas haciendo uso de parejas de independencia.

2023-12-04
16:30hrs.

Jaime Gómez Ortiz. Pontificia Universidad Católica de Chile
Topo-isomorfismos de subshifts irregulares de Toeplitz para grupos residualmente finitos
Sala 2
Abstract:
Para cada grupo contable residualmente finito $G$ se construyen ejemplos de subshifts irregulares de Toeplitz en $\{0,1\}^G$ que son topo-isomorfos a su factor maximal equicontinuo.
Para obtener este resultado se establecen condiciones suficientes para que un subshift de Toeplitz tenga medidas invariantes como puntos límites de medidas invariantes periódicas sobre $\{0,1\}^G$.
Posteriormente, se construyen arreglos de Toeplitz cuyo subshift asociado satisface tales condiciones para tener medidas invariantes y con esto poder garantizar que son topo-isomorfos a su factor equicontinuo maximal.
Si $G$ es promediable, se obtienen nuevos ejemplos de sistemas equicontinuos en promedio que son a su vez extensiones de compactificaciones metricas totalmente disconexas de $G$.
En esta charla se quiere explicar cada uno de estos pasos e introducir las nociones necesarias para entender estos ejemplos.

2023-11-27
16:30hrs.

Nelda Jaque Tamblay. Universidad de Chile
Sobre una nueva estructura hiperbólica
Sala 2, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
La coexistencia de singularidades y órbitas regulares en conjuntos transitivos por cadena ha sido un desafío para caracterizar por una estructura hiperbólica campos vectoriales que tienen todas sus órbitas periódicas fuertemente hiperbólicas (flujos estrella). En el 2004, Morales, Pacífico y Pujals propusieron la hiperbolicidad singular, que caracteriza un subconjunto abierto y denso de flujos estrella en dimensión tres. En dimensiones superiores y para campos con más de una sóla singularidad acumulando órbitas regulares, Bonatti y da Luz caracterizan un abierto y denso de flujos estrella por una nueva hiperbolicidad parcial, la hiperbolicidad multi-singular. En esta charla se va a bosquejar la construcción de un conjunto abierto de ejemplos flujos estrella que son multi-singular hiperbólicos, pero no singular hiperbólicos. Este es un trabajo junto a Adriana da Luz de la UFF y Jennyffer Bohorquez de la UFOP, Brasil.

2023-11-20
16:30hrs.

Cristóbal Rivas. Universidad de Chile
Grupos PL del intervalo
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
Los grupos PL del intervalo son una fuente muy enjundiosa de ejemplos en teoría de grupos.
En esta charla nos enfocaremos en entender acciones suaves de grupos PL del intervalo [0,1], como por ejemplo el grupo de Thompson Thompson F y los grupos de Bieri Strebel.

2023-11-06
16:30hrs.

Leonardo Dinamarca. Universidad de Santiago de Chile
Distorsión en grupos generalizados de transformaciones lineales por pedazos.
Sala 2
Abstract:
La noción de elementos distorsionados en grupos fue introducida por Gromov en la teoría geométrica de grupos, y  en los últimos años, métodos dinámicos han sido utilizados para su estudio. En esta charla nos enfocaremos en la siguiente pregunta; dada una filtración de grupos queremos entender cómo varía la noción de elementos distorsionados a lo largo de esta filtración. Veremos un caso concreto, para grupos generalizados de transformaciones lineales por pedazos. Comenzaremos con las definiciones y ejemplos básicos, para luego presentar un resultado y comentar las herramientas utilizadas.

2023-10-30
16:30hrs.

Rodolfo Gutiérrez-Romo. Universidad de Chile
Cubrimientos de traslación de sólidos platónicos
Sala de Seminarios (5° Piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile (Beauchef 851)
Abstract:
Las superficies de traslación son polígonos en el plano con lados identificados por traslación, salvo la relación de equivalencia de cortar y pegar trozos usando las identificaciones. En el espacio de las superficies de traslación actúa el flujo de Teichmüller expandiendo la dirección horizontal y contrayendo la dirección vertical.