Seminario de Sistemas Dinámicos

2024-11-04
16:30hrs.

Alfredo Calderón. Universidad Católica Silva Henríquez
Condiciones para la inestabilidad estructural de contracciones a trozos del intervalo
Sala 2
Abstract:
En la presente charla mostraremos que, bajo condiciones razonables, los mapas contractivos a trozos del intervalo que admiten dinámicas asintóticas no-periódicas no pueden ser estructuralmente estables. Se mencionarán algunos obstáculos y preguntas que surgieron durante este trabajo, tales como: ¿qué tipo de perturbaciones o topología deberíamos considerar? ¿cómo controlamos que las perturbaciones de contracciones a trozos sean contractivas a trozos sin exigir hipótesis adicionales?

Dado que varios resultados críticos para esta demostración no dependen de la "contracción a trozos", es conveniente trabajar en el espacio más amplio de mapas continuos por pedazos. En este contexto, establecemos una versión del Closing Lemma, la cual juega un papel fundamental en nuestra demostración.

2024-10-28
16:30hrs.

Christopher Cabezas. Universidad de Chile
Substitutive structures on general countable groups
Sala 2 (Facultad de Matemáticas, Edif. Rolando Chuaqui, Pontificia Universidad Católica)
Abstract:
Symbolic dynamics has been largely used to represent dynamical systems through a coding system. This method was initially developed by M. Morse and G. A. Hedlund. One commonly used coding method involves infinite sequences of morphisms defined on finitely generated monoids, known as directive sequences or S-adic representations. Recent research has shown that understanding the underlying S-adic structures of some subshifts is valuable for studying their dynamical properties. Considering the previous studies and acknowledging the effectiveness of the S-adic framework, it is natural to ask whether this setting is useful beyond the one-dimensional case. In 2023, the notion of constant-shape substitutions was introduced, as a multidimensional analogue for constant-length substitutions, marking a first attempt to study multidimensional substitutions in a broader class than those defined solely by rectangular and square supports. In this talk we are going to discuss a way to define, in a general way, analogs of constant-shape substitutions for general countable group actions. The geometry of these groups is an important feature to consider. We are going to present some dynamical properties about them, and discuss how to obtain other representations. This is a joint work with N. Bitar and P. Guillon.

2024-10-21
16:30hrs.

Samuel Petite. Université de Picardie Jules Verne
Minimal configurations for Frenkel-Kontorova model on a quasicrystal
Sala de Seminarios (5° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
The Frenkel-Kontorova model is a physical model that is mathematically simple to describe and universal in the sense that it can be used to describe several underlying physical concepts. It was originally introduced in 1938 to represent the structure and dynamics of a crystal lattice in the vicinity of a dislocation core. It models a chain of classical particles coupled to their neighbors and subjected to an external potential. In this talk, I will present an overview of some known properties and open questions concerning equilibrium configurations when the external potential is induced by a quasicrystal.

2024-10-14
16:30hrs.

Léo Poirier. École Normale Supérieure de Lyon
Characterising retract subshifts - introducing the notion of contractible subshift
Sala de Seminarios (7° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
A subshift $X$ is a retract of another subshift $Y \supset X$ if the embedding morphism ${\rm emb}\colon X \to Y$ is split-monic in the category of subshifts (i.e. have a left inverse block-map, or "retract"). To characterise this notion, we introduce "contractibility", a stregthening of the strong-irreducibility property which requires that the gluings are given by a block-map. After giving the characterisation of being a retract subshift, we will list out a few links between contractibility and other properties of subshifts (e.g. having dense periodic points, having the finite extension property, etc.).

This is a joint work with Ville Salo.

2024-09-30
16:30hrs.

Sebastián Barbieri. Universidad de Santiago de Chile
Cellular automata and percolation in groups
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
A famous theorem by Gilman shows that every cellular automaton over $\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}$ satisfies an important dynamical dichotomy with respect to any Bernoulli measure: either almost every configuration is sensitive to initial conditions, or the system is equicontinuous. We show that there exists a fundamental relationship between the existence of a non-trivial percolation threshold on the Cayley graphs of a given group $G$ and the failure of this dichotomy. We use this to give a characterization of the countable groups where Gilman's dichotomy is satisfied, which correspond to the class of locally virtually cyclic groups.

This is a collaboration with Felipe García-Ramos and Siamak Taati.

2024-09-23
16:30hrs.

Sebastián Donoso. Universidad de Chile
The joint transitivity property
Sala Multimedia (6° Piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
In recent years, the joint ergodicity property, which states that averages of $T_1^{a_1(n)}f_1 \cdots T_k^{a_k(n)}f_k$ converge (in the $L^2$ norm) to the product $\prod_{i=1}^{k} \int f_i d\mu$, has been extensively investigated in ergodic theory. The talk will focus on an analogous property in the topological dynamics setting, referred to as $\Delta$-transitivity or joint transitivity. The problem is to determine conditions under which the sequence $(T_1^{a_1(n)}x, \ldots, T_k^{a_k(n)}x)_{n\in \mathbb{N}}$ is dense in $X^k$ for a dense set of $x \in X$. In recent work with Andreas Koutsogiannis and Wenbo Sun, we established conditions under which the sequence $(T_1^n,T_2^n,\ldots,T_d^n)$ is jointly transitive. In this talk, we will review the main ideas of the proof and, if time allows, state possible future questions and directions.

2024-09-02
16:30hrs.

Néstor Jara Lagos. Universidad de Chile
Dinámica no autónoma generalizada a través de morfismos de grupoides
Sala de Usos Múltiples 2 (Edificio Felipe Villanueva)
Abstract:
En esta charla explico cómo extender las nociones de dinámica no autónoma a grupos arbitrarios, a través de morfismos de groupoides. Esto también presenta una generalización de los sistemas dinámicos clásicos y de las acciones de grupos. Introduzco la estructura de cotraslaciones, como un tipo específico de morfismo de groupoide, y establezco una correspondencia entre cotraslaciones y skew-products. Presentamos aplicaciones de las cotraslaciones a ecuaciones no autónomas, tanto en diferencias como diferenciales. También proporcionamos varios otros ejemplos en diferentes grupos. Finalmente, discutimos algunas propiedades algebraicas y analíticas de esta estructura.

2024-08-26
16:30hrs.

Leonardo Dinamarca. Universidad de Santiago de Chile
Crecimiento de la derivada para difeomorfismos del intervalo (con todos sus puntos fijos parabólicos)
Sala de Seminarios Maryam Mirzakhani, Departamento de Matemáticas, Campus Juan Gómez Millas, Universidad de Chile
Abstract:
Hace un par de décadas, Polterovich y Sodin probaron un sorprendente resultado: para un difeomorfismo de clase C² del intervalo con todos sus puntos fijos parabólicos, el crecimiento de la derivada es a lo más cuadrático. En esta charla, comenzaremos comentando aspectos sobre la demostración de este resultado. Luego, estableceremos nuestro resultado principal, el cual ofrece un mejoramiento del resultado de Polterovich y Sodin al estimar exactamente el crecimiento de la derivada. Hablaremos brevemente de las herramientas utilizadas en la demostración.

Este trabajo es en colaboración con Andrés Navas. 

2024-08-19
16:30hrs.

Thomas Jordan. University of Bristol
The shrinking target problem for self-affine sets
Sala 2
Abstract:
The shrinking target problem involves a dynamical system on a probability space or metric space and the set of starting points of orbits which hit a set of shrinking (defined in a suitable sense) sets infinitely often. Typical questions, depending on the setting, are to try and obtain a 0-1 law for the measure of the set based on the rate the targets shrink and to investigate the Hausdorff dimension of the set. We look at the dimension problem in the case of self-affine sets in $\mathbb{R}^2$. By considering a toy model we will show the situation is very different to the 1 dimensional case. The family we consider relates to Bernoulli convolutions and our arguments use both the traditional methods of studying Bernoulli convolutions (transversality) and the more recent ideas of Hochman and Shmerkin. This is joint work with Henna Koivusalo.

2024-07-08
16:30hrs.

Jan Kiwi. Pontificia Universidad Católica de Chile
Aplicaciones racionales degeneradas
Sala 2
Abstract:
El espacio de parámetros de aplicaciones racionales, de un grado dado, es una variedad compleja no-compacta. El objetivo de la charla es examinar la dinámica de funciones racionales que están cerca de infinito en el espacio de parámetros, es decir, cuando degeneran. Haré un resumen de resultados y técnicas conocidas. El énfasis estará en la relación entre la medida de máxima entropía y el comportamiento de la aplicación que envía un mapa $f$ a su $n$-ésimo iterado. Este es un trabajo conjunto, en progreso, con Honming Nie.

2024-07-01
16:30hrs.

Sebastián Ramírez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Mapas no-uniformemente hiperbólicos en T²
Sala 2
Abstract:
Un mapa $f$ se considera no-uniformemente hiperbólico (NUH) si sus exponentes de Lyapunov son distintos de cero en casi todas partes. El primer ejemplo de un mapa NUH que no es Anosov fue presentado por A. Katok en 1977. Además, se ha demostrado que cualquier superficie admite difeomorfismos que satisfacen esta propiedad. Sin embargo, estos difeomorfismos suelen ser frágiles en ciertos aspectos: si $f$ no es Anosov, cualquier difeomorfismo NUH conservativo puede ser aproximado en la topología $\mathcal{C}^1$ por un difeomorfismo cuyos exponentes de Lyapunov son cero. Este fenómeno es una consecuencia del teorema de Bochi-Mañe, revelando así una rigidez inherente a estos sistemas.

No obstante, cuando el mapa no es invertible, el teorema mencionado anteriormente no se cumple. Andersson, Carrasco y Saghin (2022) demostraron la existencia de un conjunto abierto $\mathcal{C}^1$ de endomorfismos conservativos en el 2-toro que son NUH. Obtuvieron ejemplos analíticos reales explícitos al deformar endomorfismos lineales. Sus técnicas son aplicables en casi todas las clases de homotopía y los ejemplos resultantes son establemente ergódicos (de hecho, Bernoulli) siempre que el mapa lineal no tenga un valor propio con módulo uno. En un trabajo más reciente, ampliamos estas técnicas para extender las clases de homotopías en las que existen conjuntos abiertos de endomorfismos NUH, y además, logramos la ergodicidad estable incluso en casos donde el mapa lineal no es hiperbólico (es decir, cuando tiene al $1$ o al $-1$ como valor propio). Este es un trabajo en colaboración con Kendry Vivas de la Universidad Católica del Norte.

2024-06-24
16:30hrs.

Sebastián Pavez Molina. Penn State University
Rigidez suave para difeomorfismos de Anosov en T^3
Sala 2
Abstract:
Una clase interesante de sistemas dinámicos a estudiar es la de los difeomorfismos de Anosov. Esta clase presenta un comportamiento complejo en cuanto a sus órbitas. Es sabido que estos son estructuralmente estables, es decir, si perturbamos suavemente el sistema original esta nueva dinámica es Anosov y conjugada bajo un homeomorfismo bi-Holder. En esta charla vamos a discutir que condiciones uno precisa para que dos difeomorfismos de Anosov  conjugados bajo un homeomorfismo sean efectivamente conjugados suavemente, es decir, que esta conjugación sea suave.

2024-06-17
16:30hrs.

Mauricio Bustamante. Pontificia Universidad Católica de Chile
Toros exóticos y acciones de SL(d,Z)
Sala 2
Abstract:
Una de las características más distintivas del toro $d$-dimensional (i.e. el producto de d círculos) $\mathbb{T}^d$ es que admite una acción $\mathcal{C}^{\infty} $ efectiva del grupo $\mathrm{SL}_d(\mathbb{Z})$ de matrices $d\times d$ con entradas enteras. Uno podría preguntarse si una acción así (o cualquier acción no trivial) también existe sobre toros exóticos, es decir, variedades diferenciables que son homeomorfas pero no difeomorfas a $\mathbb{T}^d$. En mi charla, luego de revisar algunas generalidades sobre variedades exóticas, voy a discutir esta pregunta.

2024-06-10
16:30hrs.

Sebastián Burgos. Penn State University
Decaimiento de correlaciones para ciertos atractores no uniformemente hiperbólicos
Sala 2
Abstract:
Un problema clásico en sistemas dinámicos es conocido como el problema de realización, el cual consiste en preguntar si dada una variedad compacta M, uno puede construir un difeomorfismo en M con ciertas propiedades ergódicas. Vamos a estudiar el decaimiento de correlaciones para ciertos sistemas dinámicos no uniformemente hiperbólicos con respecto a su medida SRB. El sistema g que vamos a considerar se obtiene de un difeomorfismo uniformemente hiperbólico f al que se le aplica el procedimiento de desaceleración. Bajo ciertas hipótesis en f y en la vecindad donde se aplica la desaceleración, concluimos que g admite decaimiento polinomial de correlaciones con respecto a la medida SRB y la clase de potenciales Hölder.

2024-06-03
16:30hrs.

Néstor Jara Lagos. Universidad de Chile
Problemas respecto a la invarianza del espectro de dicotomia no uniforme
Sala 2
Abstract:
En su tesis doctoral, S. Siegmund demostró que si dos sistemas eran cinematicamente similares, entones tenian el mismo espectro de dicotomia exponencial. En los ultimos años se han propuesto muchas generalizaciones a este resultado para abarcar las dicotomias no uniformes. En esta charla demuestro que estas generalizaciones no se siguen realmente, ya que se basan en hipótesis que no se alcanzan de manera general. Junto con ello, presento ejemplos explicitos y ademas propongo una alternativa más debil de la invarianza espectral, empleando vecindades no triviales.

2024-05-27
16:30hrs.

Daniel Coronel. Pontificia Universidad Católica de Chile
Regla de las fases de Gibbs para potenciales Hölder en la familia de Manneville-Pomeau
Sala 2
Abstract:
En esta charla daremos una clasificación de los potenciales Hölder para las dinámicas en la familia de Manneville-Pomeau. Esta clasificación depende de la propiedades termodinámicas de los potenciales. Mostraremos que cuando existen potenciales con transiciones de fase hay dos fases  en el espacio de potenciales, cada fase es un abierto conexo, y la unión de estas dos fases es densa. También mostraremos que estas dos fases tienen una frontera común y que esta frontera es homeomorfa a un subespacio de codimensión 1.

2024-05-13
16:30hrs.

Álvaro Bustos. Pontificia Universidad Católica de Chile
El semigrupo de columnas de una sustitución y factores de su espacio de shift
Sala 1
Abstract:
Los subshifts sustitutivos constituyen una clase muy estudiada de sistemas simbólicos de naturaleza «autosimilar», siendo una rica fuente de ejemplos de sistemas minimales aperiódicos de entropía nula. Dentro de estos sistemas cabe destacar aquellos en que la sustitución es de largo constante, lo que proporciona un nivel adicional de «rigidez estructural» que vuelve manejables diversos problemas dinámicos de interés, como p.ej., el cómputo del grupo de automorfismos, de los autovalores del sistema o su factor equicontinuo maximal.

Un objeto algebraico de interés en este contexto es el semigrupo de columnas de la sustitución, S(θ), que es un subsemigrupo del semigrupo completo de transformaciones ?(?) del alfabeto ?. Las características algebraicas de este semigrupo se pueden relacionar con propiedades dinámicas del subshift asociado X(θ). Discutiremos la relación que existe entre los ideales del semigrupo S(θ) y la existencia de ciertos factores dinámicos sustitutivos de X(θ), en particular, la existencia de factores sustitutivos biyectivos o factores sustitutivos de tipo Toeplitz, para los cuales esta caracterización algebraica lleva a un algoritmo que permite computar la sustitución asociada a un factor de este tipo o mostrar que tal factor no existe.

Éste es un trabajo conjunto con Johannes Kellendonk y Reem Yassawi.

2024-05-06
16:30hrs.

Julien Boulanger. Université Grenoble Alpes/institut Fourier
Algebraic intersections in translation surfaces
Sala de Seminarios 7° Piso, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Chile
Abstract:
The purpose of this talk is to discuss the maximal possible (algebraic) intersection of closed curves of a given length on translation surfaces. One way to quantify this is to define the so-called "interaction strength" of the surface. The (moduli) space of translation surfaces comes with a natural SL(2,R) action and we are interested in understanding the behaviour of the interaction stength under this action.

After having introduced translation surfaces and the SL(2,R) action, we will give a few geometric ideas and focus on the case of the Golden L for which we can explicitely describe the behaviour of the interaction strength in the SL(2,R)-orbit. 

2024-04-22
16:30hrs.

María Isabel Cortez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Familias test para comprobar la promediabilidad de grupos residualmente finitos
Sala 2
Abstract:
Un clásico resultado establece que un grupo numerable $G$ es promediable (amenable), si y sólo si toda acción continua de $G$ sobre un espacio métrico compacto admite medidas de probabilidad invariantes. Motivados por esta caracterización de promediabilidad,  Giordano y de la Harpe mostraron que para testear promediabilidad de un grupo $G$,  basta con estudiar las acciones continuas de $G$ sobre el Cantor. En otras palabras, probaron que las acciones continuas sobre el Cantor son una familia test para la promediabilidad de un grupo numerable. Una aplicación directa del resultado de Giordano y de la Harpe permite restringir la familia test a los sistemas simbólicos.  Recientemente,   Frisch, Kechris, Shinko y Vidnyànszky  probaron que la promediabilidad de un grupo numerable puede testearse  acotando la familia de sistemas simbólicos a los subshifts definidos sobre el alfabeto $\{0,1\}$. Es natural entonces preguntarse si se puede acotar aún más la familia test, o si es posible encontrar otras clases de sistemas dinámicos que sean útiles para testear promediabilidad.

En este trabajo, nos enfocamos en los grupos $G$ que admiten acciones equicontinuas sobre el Cantor (grupos cuyo subgrupo residual no es de índice finito, por ejemplo, los grupos infinitos que son residualmente finitos), probando que el grupo $G$ es promediable si y sólo si toda extensión simbólica casi 1-1 de una acción minimal equicontinua sobre el Cantor, admite medidas de probabilidad invariantes. Es decir, el grupo $G$ es promediable si y sólo si todo $G$-subshift de Toeplitz posee medidas de probabilidad invariantes. Este es un trabajo en conjunto con Jaime Gómez.

2024-04-15
16:30hrs.

Mathieu Sablik. Université Toulouse III - Paul Sabatier
Characterisation of the Set of Ground States of Uniformly Chaotic Finite-Range Lattice Models
Sala de Seminarios (7° piso), Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas (Edificio Beauchef 851), Universidad de Chile
Abstract:
The study of statistical physics models allows mathematics to offer another perspective on empirically observable phenomena. A point of interest is in particular the behavior of these models when the temperature tends towards 0, analogous to the emergence of complex crystal structures in materials. A way to model that is to consider tiling defined by local rules where some matching rules can be broken proportionally to a parameter which is the inverse of the temperature. This correspond to the Gibbs measure of the system and we are interested to the stability of these measures when the temperature goes to 0.

In 2010, Chazottes and Hochman exhibited a three-dimensional potential with local interactions, for which the induced system is chaotic, i.e. no trajectory of the system converges at zero temperature. In this talk we are going to characterize which set of measures can be obtained with such behavior. To do this, we will notably introduce a family of aperiodic tilings whose combinatorial properties make it possible to control entropy, encode Turing machines and "simulate” probability measures.