Seminario de Teoría de Números
El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.
Página web: https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2023-06-09
2:00pmhrs.
2:00pmhrs.
Héctor Pastén. UC
Aritmética en superficies elípticas
Sala 5
Abstract:
Explicaremos el teorema de especialización de Silverman y temas asociados a la pregunta de cómo varía el rango en las fibras de una superficie elíptica.
Aritmética en superficies elípticas
Sala 5
Abstract:
Explicaremos el teorema de especialización de Silverman y temas asociados a la pregunta de cómo varía el rango en las fibras de una superficie elíptica.
2023-06-02
14:00hrs.
14:00hrs.
Benjamín Macías. UC
Superficies elípticas racionales
Sala 5
Abstract:
En esta charla estudiaremos un par de resultados generales de invariantes de superficies elípticas, y algunos aspectos sobre superficies elípticas racionales. Particularmente, discutiremos cómo se presentan sus invariantes y nos detendremos en un ejemplo típico: las cubic pencils.
Superficies elípticas racionales
Sala 5
Abstract:
En esta charla estudiaremos un par de resultados generales de invariantes de superficies elípticas, y algunos aspectos sobre superficies elípticas racionales. Particularmente, discutiremos cómo se presentan sus invariantes y nos detendremos en un ejemplo típico: las cubic pencils.
2023-05-12
14:00hrs.
14:00hrs.
Camila Guajardo. UC
Sobre fibras aditivas y superficies elípticas sobre P^1
Sala 5
Abstract:
Retomaremos la discusión sobre el algoritmo de Tate en característica distinta de dos y tres para dar una clasificación más directa de las fibras aditivas. Además, veremos algunas propiedades de las superficies elípticas cuya curva base es P1.
Sobre fibras aditivas y superficies elípticas sobre P^1
Sala 5
Abstract:
Retomaremos la discusión sobre el algoritmo de Tate en característica distinta de dos y tres para dar una clasificación más directa de las fibras aditivas. Además, veremos algunas propiedades de las superficies elípticas cuya curva base es P1.
2023-04-21
14:00hrs.
14:00hrs.
Jerson Caro. UC
Clasificación de superficies
Sala 5
Abstract:
Revisaremos la clasificación birracional de superficies con énfasis en el lugar que ocupan las superficies elípticas.
Clasificación de superficies
Sala 5
Abstract:
Revisaremos la clasificación birracional de superficies con énfasis en el lugar que ocupan las superficies elípticas.
2023-04-14
14:00hrs.
14:00hrs.
Rocío Sepúlveda. UC
Superficies elípticas y sus fibras malas
Sala 5
Abstract:
En esta charla veremos el algoritmo de Tate y cómo funciona para clasificar fibras malas de una superficie elíptica, con ejemplos concretos.
Superficies elípticas y sus fibras malas
Sala 5
Abstract:
En esta charla veremos el algoritmo de Tate y cómo funciona para clasificar fibras malas de una superficie elíptica, con ejemplos concretos.
2023-03-31
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Introducción a las superficies elípticas
Sala 5
Abstract:
Luego de un repaso de curvas elípticas, vamos a comenzar el estudio de las superficies elípticas y su aritmética.
Introducción a las superficies elípticas
Sala 5
Abstract:
Luego de un repaso de curvas elípticas, vamos a comenzar el estudio de las superficies elípticas y su aritmética.
2023-03-24
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Jugando con los libres de cuadrados
Sala 5
Abstract:
Un entero es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros son 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10. En esta charla vamos a estudiarlos y descubrir algunas de sus propiedades básicas.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
Jugando con los libres de cuadrados
Sala 5
Abstract:
Un entero es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros son 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10. En esta charla vamos a estudiarlos y descubrir algunas de sus propiedades básicas.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2022-11-25
14:00hrs.
14:00hrs.
Andrés Morán. UC
Curvas elípticas en criptografía: aplicaciones de la estructura de grupo y de curvas elípticas supersingulares
Sala 5
Abstract:
Establecer canales seguros de comunicación es un problema que antecede a la informática moderna. Sin embargo, el incremento de la capacidad de cómputo y las nuevas tecnologías amenazan la vigencia de los protocolos criptográficos existentes. El propósito de la charla consiste en contextualizar la importancia de las curvas elípticas en criptografía. En particular, se introducirán los preliminares básicos sobre curvas elípticas y terminología propia de criptografía. Se procederá a comentar el problema del logaritmo discreto, para tratar el protocolo de Diffie-Hellman elíptico. Luego, se verá una aplicación ofensiva: el algoritmo de factorización de enteros de Lenstra. Posteriormente, se hablará del problema del subgrupo oculto, el cual generaliza al problema de factorización de enteros y al logaritmo discreto, conduciendo hacia un hipotético escenario post-cuántico. Esto nos llevará a definir grafos de isogenia, y finalmente, a describir el protocolo de Diffie-Hellman de isogenia supersingular (SIDH), el cual pretende ser resistente a un ataque en un escenario post-cuántico. Se resaltará que algunas versiones de SIDH han sido vulneradas mediante el uso de un computador convencional, por lo cual el protocolo SIDH requiere ser mejorado.
Palabras clave: seguridad, elíptica, criptografía, Diffie-Hellman, Lenstra, isogenia, supersingular, SIDH, informática
Curvas elípticas en criptografía: aplicaciones de la estructura de grupo y de curvas elípticas supersingulares
Sala 5
Abstract:
Establecer canales seguros de comunicación es un problema que antecede a la informática moderna. Sin embargo, el incremento de la capacidad de cómputo y las nuevas tecnologías amenazan la vigencia de los protocolos criptográficos existentes. El propósito de la charla consiste en contextualizar la importancia de las curvas elípticas en criptografía. En particular, se introducirán los preliminares básicos sobre curvas elípticas y terminología propia de criptografía. Se procederá a comentar el problema del logaritmo discreto, para tratar el protocolo de Diffie-Hellman elíptico. Luego, se verá una aplicación ofensiva: el algoritmo de factorización de enteros de Lenstra. Posteriormente, se hablará del problema del subgrupo oculto, el cual generaliza al problema de factorización de enteros y al logaritmo discreto, conduciendo hacia un hipotético escenario post-cuántico. Esto nos llevará a definir grafos de isogenia, y finalmente, a describir el protocolo de Diffie-Hellman de isogenia supersingular (SIDH), el cual pretende ser resistente a un ataque en un escenario post-cuántico. Se resaltará que algunas versiones de SIDH han sido vulneradas mediante el uso de un computador convencional, por lo cual el protocolo SIDH requiere ser mejorado.
Palabras clave: seguridad, elíptica, criptografía, Diffie-Hellman, Lenstra, isogenia, supersingular, SIDH, informática
2022-11-18
14:00hrs.
14:00hrs.
Ricardo Menares. UC
Curvas elípticas p-ádicas
Sala 5
Abstract:
Explicaré algunas características del espacio de módulos de curvas elípticas p-ádicas y un problema de aproximación diofantina que aparece naturalmente.
Curvas elípticas p-ádicas
Sala 5
Abstract:
Explicaré algunas características del espacio de módulos de curvas elípticas p-ádicas y un problema de aproximación diofantina que aparece naturalmente.
2022-11-11
14:00hrs.
14:00hrs.
Felipe Hernández. UC
Metodo de Chabauty-Coleman y un unico par de triangulos
Sala 5
Abstract:
En esta charla presentaremos las tecnicas del analisis p-adico para probar el teorema de coleman, una versión efectiva del teorema de Chabauty de donde se obtiene una cota para el número de puntos racionales en una curva bajo ciertas hipotesis. Ademas se mostrara una aplicación de esto para probar un teorema sobre pares de triangulos.
Metodo de Chabauty-Coleman y un unico par de triangulos
Sala 5
Abstract:
En esta charla presentaremos las tecnicas del analisis p-adico para probar el teorema de coleman, una versión efectiva del teorema de Chabauty de donde se obtiene una cota para el número de puntos racionales en una curva bajo ciertas hipotesis. Ademas se mostrara una aplicación de esto para probar un teorema sobre pares de triangulos.
2022-11-04
14:00hrs.
14:00hrs.
Benjamín Macías. UC
Puntos enteros en órbitas de funciones racionales
Sala 5
Abstract:
En esta charla usaremos un teorema de Siegel y un resultado geométrico para probar que las órbitas de puntos errantes bajo funciones racionales tienen a lo más finitos puntos enteros.
Puntos enteros en órbitas de funciones racionales
Sala 5
Abstract:
En esta charla usaremos un teorema de Siegel y un resultado geométrico para probar que las órbitas de puntos errantes bajo funciones racionales tienen a lo más finitos puntos enteros.
2022-10-28
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
La conjetura de Casas-Alvero
Sala 5
Abstract:
El polinomio (x−a)d tiene la propiedad que comparte un cero con cada una de sus derivadas. En 2001 Casas-Alvero conjeturó un recíproco de esta afirmación para polinomios complejos. En general la conjetura sigue abierta pero algunos avances se conocen, usando esquemas sobre Z y aritmética sobre campos finitos. En esta charla daré un resumen de lo que se sabe y lo que no se sabe en relación a esta conjetura.
La conjetura de Casas-Alvero
Sala 5
Abstract:
El polinomio (x−a)d tiene la propiedad que comparte un cero con cada una de sus derivadas. En 2001 Casas-Alvero conjeturó un recíproco de esta afirmación para polinomios complejos. En general la conjetura sigue abierta pero algunos avances se conocen, usando esquemas sobre Z y aritmética sobre campos finitos. En esta charla daré un resumen de lo que se sabe y lo que no se sabe en relación a esta conjetura.
2022-10-21
14:00hrs.
14:00hrs.
Tobías Martínez. Universidad Técnica Federico Santa María
Hipótesis de Riemann extendida
Sala 5
Abstract:
La hipótesis de Riemann es uno de los 7 problemas del milenio, ha atraído a numerosos matemáticos de todas las épocas posteriores a su formulación.
En esta charla presentaremos la hipótesis de Riemann y mencionaremos su conexión con el Teorema de los números primos. También discutiremos la hipótesis de Riemann extendida, es decir, la descripción del lugar dónde se espera se encuentren los ceros no triviales de la función zeta de Dedekind.
Hipótesis de Riemann extendida
Sala 5
Abstract:
La hipótesis de Riemann es uno de los 7 problemas del milenio, ha atraído a numerosos matemáticos de todas las épocas posteriores a su formulación.
En esta charla presentaremos la hipótesis de Riemann y mencionaremos su conexión con el Teorema de los números primos. También discutiremos la hipótesis de Riemann extendida, es decir, la descripción del lugar dónde se espera se encuentren los ceros no triviales de la función zeta de Dedekind.
2022-10-14
14:00hrs.
14:00hrs.
Matías Alvarado. UC
Una introducción a los módulos de Drinfeld
Sala 5
Abstract:
En los años 70, Vladimir Drinfeld definió ciertos objetos a los que llamó módulos elípticos (hoy llamados módulos de Drinfeld), con el objetivo de abordar las conjeturas de Langlands para GLn sobre campos de funciones globales. Cabe señalar que los primeros ejemplos de estos, fueron trabajados en los años 30 por Carlitz, pero Drinfeld los generalizó. Con el tiempo, estos módulos fueron tomando aún mayor importancia, ya que permitía demostrar varios teoremas análogos a teoremas sobre campos de números. En esta charla definiremos los módulos de Drinfeld, mostraremos su analogía con la aritmética de campos de números, y mencionaremos algunas de sus propiedades y aplicaciones.
Una introducción a los módulos de Drinfeld
Sala 5
Abstract:
En los años 70, Vladimir Drinfeld definió ciertos objetos a los que llamó módulos elípticos (hoy llamados módulos de Drinfeld), con el objetivo de abordar las conjeturas de Langlands para GLn sobre campos de funciones globales. Cabe señalar que los primeros ejemplos de estos, fueron trabajados en los años 30 por Carlitz, pero Drinfeld los generalizó. Con el tiempo, estos módulos fueron tomando aún mayor importancia, ya que permitía demostrar varios teoremas análogos a teoremas sobre campos de números. En esta charla definiremos los módulos de Drinfeld, mostraremos su analogía con la aritmética de campos de números, y mencionaremos algunas de sus propiedades y aplicaciones.
2022-10-07
14:00hrs.
14:00hrs.
Benjamín Barrios. UC
Teoría de Números y Teoría de Nevanlinna
Sala 5
Abstract:
La Teoría de Nevanlinna consiste en el estudio de la distribución de los valores de una función holomorfa o meromorfa. En esta charla definiremos el concepto de altura en Teoría de Nevanlinna y veremos cómo algunos resultados en Teoría de Números se traducen en el lenguaje de Teoría de Nevanlinna y viceversa.
Teoría de Números y Teoría de Nevanlinna
Sala 5
Abstract:
La Teoría de Nevanlinna consiste en el estudio de la distribución de los valores de una función holomorfa o meromorfa. En esta charla definiremos el concepto de altura en Teoría de Nevanlinna y veremos cómo algunos resultados en Teoría de Números se traducen en el lenguaje de Teoría de Nevanlinna y viceversa.
2022-09-30
14:00hrs.
14:00hrs.
José Cuevas. UC
¿Cuándo es -1 una suma de cuadrados?
Sala 5
Abstract:
Existen cuerpos en donde -1 es suma de cuadrados (e.g., los complejos), ¿pero cuánto es la mínima cantidad de términos necesarios? En ésta charla responderemos ésta y otras preguntas sobre sumas de cuadrados.
¿Cuándo es -1 una suma de cuadrados?
Sala 5
Abstract:
Existen cuerpos en donde -1 es suma de cuadrados (e.g., los complejos), ¿pero cuánto es la mínima cantidad de términos necesarios? En ésta charla responderemos ésta y otras preguntas sobre sumas de cuadrados.
2022-09-23
14:00hrs.
14:00hrs.
Rocío Sepúlveda. UC
Conjuntos no diofantinos
Sala 5
Abstract:
A partir de las relaciones del conjunto de los enteros y de los racionales, podemos identificar conjuntos diofantinos y no diofantinos sobre anillos de polinomios. Esta charla tiene el objetivo de entregar herramientas para poder acercarse al problema abierto del conjunto de grados de polinomios.
Conjuntos no diofantinos
Sala 5
Abstract:
A partir de las relaciones del conjunto de los enteros y de los racionales, podemos identificar conjuntos diofantinos y no diofantinos sobre anillos de polinomios. Esta charla tiene el objetivo de entregar herramientas para poder acercarse al problema abierto del conjunto de grados de polinomios.
2022-09-09
14:00hrs.
14:00hrs.
2022-08-26
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Curvas elípticas y definibilidad
Sala 5
Abstract:
Comenzaremos con una breve introduccción a las curvas elípticas. Con esta herramienta vamos a demostrar un teorema clásico de Raphael Robinson de los años 60 que afirma que las constantes Q son definibles en las funciones racionales Q(z).
Curvas elípticas y definibilidad
Sala 5
Abstract:
Comenzaremos con una breve introduccción a las curvas elípticas. Con esta herramienta vamos a demostrar un teorema clásico de Raphael Robinson de los años 60 que afirma que las constantes Q son definibles en las funciones racionales Q(z).
2022-08-19
14:00hrs.
14:00hrs.
Natalia García. UC
Conjuntos Diofantinos
Sala 5
Conjuntos Diofantinos
Sala 5