Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.

Página web: https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html

2022-06-17
14:00hrs.
Jerson Caro. UC
Propiedad de Northcott para valores de la función zeta de Dedekind
Sala 5
Abstract:
Dada una función $f$ desde un conjunto $S$ a un conjunto $\Gamma$ parcialmente ordenado, decimos que satisface la propiedad de Northcott si para todo $\gamma\in\Gamma$ el conjunto de $s\in S$, tal que $f(s)\leq \gamma$, es finito. Por ejemplo, si tomamos $S$ el conjunto de los campos de números la función $K\mapsto D_K$ (donde $D_K$ es el discriminante de $K$) satisface dicha propiedad (Hermite-Minkowski Theorem).
Por otra parte, cada campo de números $K$ tiene asociada la función zeta de Dedekind $\zeta_K(s)$ la cuál está definida para $s\in\mathbb{C}$ con $\mathrm{Re}(s)>1$, y se puede extender a todo el plano complejo obteniendo así una función holomorfa salvo en $s=1$ en donde tiene un polo simple.
Nos podemos preguntar para que valores de $s$ la función $K\mapsto|\zeta_K(s)|$ satisface la propiedad de Northcott. Aquí debemos tener cuidado cuando $\zeta_K(s)=0$ y en $s=1$. En esta charla hablaremos del trabajo de Pazuki & Pengo (2021) en donde se da respuesta a la pregunta cuando $s\in\mathbb{Z}$. Además hablaremos de una respuesta parcial para el análogo sobre campos de funciones en caraterística positiva, trabajo de Généreux, Lalín & Li (2022).
2022-06-10
14:00hrs.
Patricio Pérez. UC
Recurrencias lineales y el Teorema de Skolem-Mahler-Lech
Sala 5
Abstract:
Dada una sucesión $a_n$ determinada por una recurrencia lineal, el Teorema de Skolem-Mahler-Lech nos dice que el conjunto de ceros de la sucesión (índices donde se anula $a_n$) es eventualmente periódico. Más precisamente, establece que este conjunto puede descomponerse en una unión de un conjunto finito y finitas progresiones aritméticas, todas con la misma diferencia. Durante la charla demostraremos este resultado para recurrencias en $\mathbb{Q}$ con herramientas $p$-ádicas.
2022-06-03
14:00hrs.
Rocío Sepúlveda. UC
Extensiones del Décimo problema de Hilbert
Sala 5
Abstract:
Se abarcará la relación de la lógica con la aritmética para el estudio del HTP. Posteriormente se trabajará un caso particular del artículo de J. Denef y finalmente se enunciará dos extensiones que puede proyectar a una solución más general del HTP.
2022-05-27
14:00hrs.
Benjamín Macías. UC
Introducción a los números p-ádicos
Sala 5
Abstract:
Los números p-ádicos son un sistema numérico resultante de completar Q respecto a una métrica distinta a la usual. Su importancia reside en que codifican información aritmética, por lo que resultan una potente herramienta para el estudio de la teoría de números. En esta charla presentaremos una introducción elemental, prestando atención a su construcción, propiedades básicas, y deteniéndonos en aplicaciones del Lema de Hensel.
2022-05-20
14:00hrs.
Mathias Luengo. UC
Schneider-Lang: Trabajando sobre complejos para resultados reales
Sala 5
Abstract:
Se construirá una demostración con herramientas algebraicas y de variable compleja para el Teorema de Schneider-Lang con el objetivo de lograr resultados sobre la trascendencia de números reales, particularmente irracionales.
2022-05-13
14:00hrs.
Matías Alvarado. UC
Sobre el teorema de Faltings para curvas
Sala 5
Abstract:
En esta charla, discutiremos brevemente sobre la historia y los avances en la resolución de ecuaciones diofantinas, para luego dar pie a la exposición de algunos preliminares necesarios de la geometría aritmética con el fin de comprender el enunciado del teorema de Faltings.
2022-05-06
14:00hrs.
Fernanda Cares. UC
Números primos que se escriben como suma de dos cuadrados
Sala 5
Abstract:
El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados caracteriza a todos los números primos impares que pueden ser expresados de la forma $x^2+y^2$ con $x$ e $y$ enteros. En esta charla demostraremos este teorema de dos maneras y luego mencionaremos algunas de sus generalizaciones.
2022-04-22
14:00hrs.
Camila Guajardo Vásquez. UC
Curvas elípticas y sus puntos racionales
Sala 5
Abstract:
En esta charla presentaremos la ley de grupo que puede definirse sobre los puntos racionales de una curva elíptica y revisaremos el teorema de Mordell para dar una descripción de dicho grupo. 
2022-04-08
14:00hrs.
Natalia García. UC
El teorema de Liouville y los números trascendentes
Sala 5
Abstract:
El teorema de Liouville, demostrado en 1844, fue un resultado pionero en el área de aproximación Diofantina. En esta charla veremos su demostración y y algunas aplicaciones. Además explicaremos algunos resultados de aproximación Diofantina que mejoran este teorema.
2022-03-25
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Introducción a la conjetura ABC
Sala 5
Abstract:
La conjetura ABC es uno de los problemas más importantes en Teoría de Números y por ende en Matemáticas. En esta charla vamos a explicar de qué se trata y lo que se sabe al respecto.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2021-12-03
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre el conjunto excepcional en las conjeturas de Vojta
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Las conjeturas de Vojta son propuestas para cuerpos de números y para cuerpos de funciones. Estas nos dicen que la Aproximación Diofantina se comporta de manera similar a la Teoría de Distribución de Valores de análisis complejo. Estas conjeturas implican muchos resultados y conjeturas de la teoría de números, como la conjetura abc, la conjetura de Bombieri-Lang, el teorema (grande) de Faltings, etc.
En esta charla explicaré de qué se tratan estas conjeturas y mostraré un resultado en el contexto de cuerpos de funciones, donde además podemos determinar el conjunto excepcional que aparece en esta conjetura de manera explícita.
2021-11-26
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
La conjetura de Watkins para curvas elípticas semi-estables
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 2002 Watkins conjeturó que dada una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$, su rango de Mordell-Weil es a lo más la valuación $2$-ádica de su grado modular. En esta charla definiremos los invariantes relacionados a esta conjetura y demostraremos que una curva elíptica semi-estable $E/\mathbb{Q}$, cuya $2$-torsión racional es isomorfa a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, satisface la conjetura de Watkins siempre que no haya primos con reducción multiplicativa split o que el número de primos con reducción multiplicativa no split sea impar. Este es un trabajo conjunto con Héctor Pastén.
2021-11-19
14:00hrs.
Eliezer Fuentes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sumas de Ramanujan-Fourier y convoluciones afines de funciones aritméticas
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Se expondrá brevemente qué son las sumas de Ramanujan-Fourier y las expansiones de Ramanujan. Luego se verán las relaciones de ortogonalidad de estas sumas, para luego seguir con un resultado asintótico para convoluciones trasladadas y afines de funciones aritméticas. Esto nos llevará a poder encontrar evidencia de un resultado conjetural sobre pares de primos.
2021-11-12
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Chevalley-Warning cuando el grado es igual al número de variables
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Sea k un campo finito de característica p y sea f un polinomio sobre k con n variables y de grado d. Si d<n el teorema de Chevalley-Warning nos dice que el número de soluciones de f=0 sobre k es divisible por p. El resultado es falso cuando d=n. En esta charla explicaré cómo extender el teorema al caso d=n. Usando curvas elípticas veremos que dicha extensión es óptima.
2021-11-05
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de Chevalley-Warning
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Un tema fundamental en aritmética es estudiar la existencia de soluciones de una ecuación polinomial en un campo que NO es algebraicamente cerrado. Notoriamente, uno estudia el caso del campo de los números racionales y el de campos finitos. En esta charla nos enfocaremos en campos finitos y demostraremos un teorema que, en condiciones favorables, asegura la existencia de soluciones.
2021-10-29
14:00hrs.
Benjamín Castillo. Pontificia Universidad Católica de Chile
Números congruentes
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Un número congruente es un número entero que se puede expresar como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Decidir qué número es congruente o no es un problema de larga historia, el cual ha tenido sus avances más significativos sólo estos últimos siglos. En esta charla vamos a ver los orígenes del problema junto con un resultado clásico de Fermat y después nos enfocaremos en cómo se relacionan números congruentes con puntos racionales de ciertas curvas elípticas. Bajo este último enfoque, uno de los mejores resultados que se tiene hasta el momento es un teorema que relaciona números congruentes con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (problema del milenio).
2021-10-15
14:00hrs.
Benjamín Barrios. Pontificia Universidad Católica de Chile
Números full-cuadrados consecutivos
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Decimos que $n$ es full-cuadrado si para cada primo $p$ que divide a $n$, se tiene que $p^2$ divide a $n$. En esta charla estudiaremos el conjunto de los números full-cuadrados consecutivos y demostraremos que en verdad este es pequeño (en el sentido de densidad). Además, se mencionará cómo una conjetura de Erdös respecto a estos números nos da avances de las conjeturas de Ankeny-Artin-Chowla y de Mordell. Finalmente, explicaremos cómo la conjetura ABC ayuda a mejorar la estimación de los números full-cuadrados consecutivos.
2021-10-08
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
La conjetura de Artin para raíces primitivas
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 1924 E. Artin conjeturó que para todo entero a que no pertenece a {-1, 0, 1} o que no sea un cuadrado perfecto, existen infinitos primos p tales que a (módulo p) genera las unidades del campo con p elementos; aunque es aún un problema abierto, hay grandes avances al respecto. La idea de esta charla es mostrar parte del desarrollo histórico de esta conjetura, entre ello, una prueba de Hooley asumiendo la Hipótesis generalizada de Riemann.
2021-09-24
14:00hrs.
Fernanda Cares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Teorema de Northcott sobre puntos preperiódicos
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 1950 Northcott demostró que dada una función racional con coeficientes en $\overline{\mathbb{Q}}$ de grado mayor o igual a 2, su conjunto de puntos preperiódicos tiene altura acotada. Así, tiene finitos puntos preperiódicos de grado acotado. En esta charla definiremos los conceptos necesarios para entender este teorema y demostrarlo para funciones de tipo $z^2+c$ con $c$ racional. 
2021-09-10
14:00hrs.
Ricardo Menares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Teoría de la Capacidad y la Conjetura de Schinzel-Zassenhaus (Ahora Teorema de Dimitrov)
https://zoom.us/j/97643265416