Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.

Página web: https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html

2021-09-03
14:00hrs.
Rodrigo Galaz. Pontificia Universidad Católica de Chile
El postulado de Bertrand
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En el siglo XIX Joseph Bertrand conjeturó que siempre existe un primo entre $n$ y $2n$. En este seminario demostraremos este resultado con métodos elementales y veremos un par de aplicaciones y generalizaciones.
2021-08-27
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre primos y derivadas: Una analogía entre números y funciones
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Hay muchas demostraciones de la infinitud de los primos, así como también del resultado análogo para polinomios: infinitud de polinomios mónicos irreducibles. En esta charla partiremos dando una demostración de lo segundo por medio de derivadas, y veremos como usar derivadas aritméticas para traducir ese argumento y así demostrar de una forma nueva que hay infinitos primos.
2021-07-09
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Derivadas aritméticas
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
La única derivada $D$ en los enteros es la función nula: la regla del producto da $D(1)=0$ y aditividad nos da $D(1+1+...+1)=0$. Así que en los enteros no puede haber derivadas interesantes... ¿o sí las hay? En esta charla construiremos un tipo de derivada aritmética bastante flexible. Mostraremos que la conjetura ABC es equivalente al hecho que dichas derivadas sean "pequeñas", lo que motiva una conjetura muy precisa sobre el tamaño de estas derivadas aritméticas.
2021-07-02
2pmhrs.
Ignacio Rojas. UC
Nullstellensatz combinatorio
Zoom
Abstract:

En esta charla demostraremos el Nullstellensatz Combinatorio, un resultado algebraico, inspirado en la geometría, y con aplicaciones combinatorias y aritméticas. Además de demostrarlo vamos a presentar algunas aplicaciones a la teoría de congruencias.


http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2021-06-04
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Los enteros de Gauss al rescate
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
El anillo de los enteros de Gauss es Z[i] donde i es la unidad imaginaria. Es un dominio Euclideano así que tiene una aritmética muy parecida a la de Z, y uno podría estudiar en Z[i] problemas análogos a los de Z. Sin embargo, en esta charla veremos varias aplicaciones de esta estructura algebraica a problemas que son genuinamente sobre Z y Q, donde el anillo Z[i] viene a ayudarnos pero no es parte del problema inicial ni de la respuesta final.
2021-05-28
14:00hrs.
Camilo Sánchez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Ecuación de Thue y aproximación Diofantina
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Desde Liouville hasta Roth, pasando por Thue, se han obtenido teoremas que nos dan información acerca de números algebraicos irracionales aproximados por racionales, cuyas cotas han ido mejorando con el paso del tiempo. A esto le llamamos aproximación Diofantina.
Por otro lado, dado un polinomio F(x,y) homogéneo de dos variables, con coeficientes enteros, grado mayor o igual a 3 e irreducible en Q, llamamos ecuación de Thue a la ecuación Diofantina F(x,y)=c con c entero no nulo. ¿Es posible establecer una relación entre la aproximación Diofantina y una ecuación de Thue? En esta charla se verá como estos teoremas de aproximación nos permiten concluir que una ecuación de Thue tiene finitas soluciones enteras.
2021-05-07
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Una invitación a puntos racionales en curvas
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Esta charla será una introducción al tema de puntos racionales en curvas. Explicaremos como un dato geométrico (el género) gobierna el comportamiento de estos puntos. Este estudio será motivado con problemas Diofantinos clásicos. No se requiere material previo para entender la charla: toda la terminología será explicada.
2021-04-23
14:00hrs.
Felipe Hernández. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de van der Waerden
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Si se dividen los números naturales en dos conjuntos, digamos, primos y compuestos, números libres de cuadrados o no, o cualquier otra división que usted piense, ¿es posible afirmar que siempre existe una progresión aritmética de largo arbitrario contenida en solo uno de estos conjuntos?. Si ahora no sólo considera dos conjuntos, sino que divide a los naturales en k conjuntos, ¿qué podemos decir respecto de la pregunta anterior?. La respuesta a esta interrogante la da el teorema de van der Waerden, en esta charla revisaremos una sorprendente demostración elemental de este teorema, que son los números de van der waerden, lo que se conoce a dia de hoy sobre ellos, y un teorema que extiende el de van der Waerden a un nivel mucho más general.
2021-04-16
14:00hrs.
Benjamín Barrios. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre la densidad de los números libres de cuadrados
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Dado un número entero positivo n, decimos que es libre de cuadrados si no existe ningún entero a, con |a|>1 tal que $a^2|n$. Dicho de otra forma, n no tiene factores primos repetidos. En esta charla vamos a estimar la probabilidad de que un número natural dado sea libre de cuadrados. En otras palabras, si consideramos Q(x) como la función que cuenta cuántos números libres de cuadrados hay hasta x, calcularemos el límite cuando x se va a infinito de Q(x)/x. Además, haremos un breve análisis de algunas preguntas que pueden surgir de manera natural, e.g., ¿qué pasa con la probabilidad si consideramos números libres de k-potencias? Finalmente, demostraremos que todo número entero mayor que 1 puede escribirse como suma de dos números libres de cuadrados.
2021-04-09
14:00hrs.
Matías Bruna. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre densidad de Schnirelmann y suma de conjuntos
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Dado un conjunto A de números naturales, uno se puede preguntar si todo natural se puede escribir como suma de m elementos de A, y si la respuesta es afirmativa, nos gustaría calcular el menor m posible. En esta charla introduciremos la densidad de Schnirelmann y veremos algunos teoremas al respecto. Con esto probaremos, por ejemplo, que existe un natural C tal que todo número natural se puede escribir como suma de a lo más C primos.
2021-03-26
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
El problema del cuboide perfecto
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Un cuboide perfecto (o ladrillo perfecto de Euler) es una caja cuyos lados, diagonales de las caras y diagonal principal tienen longitudes racionales. Hasta el momento no se ha encontrado algun cuboide perfecto, a pesar de lo mucho que se ha buscado. Tampoco sabemos si no existen. En esta charla veremos la historia del problema y lo que se conoce hasta el momento.

2021-03-19
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Infinitud de Primos
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
2020-11-27
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
La solución negativa del Décimo Problema de Hilbert
Pedir link a Héctor Pastén
Abstract:
El Décimo Problema de Hilbert (H10, de 1900) pedía un algoritmo capaz de decidir existencia de soluciones enteras para ecuaciones diofantinas. Los trabajos de Davis, Putnam, Robinson y Matijasevic lograron demostrar en 1970 que dicho algoritmo no existe. En esta charla explicaré de qué se trata el problema y cómo se obtuvo solución, y deduciremos varias consecuencias sorprendentes.
2020-11-20
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Una introducción a las dinámicas aritméticas
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Una función racional define una dinámica en la esfera de Riemann por iteración. Si esta función tiene coeficientes racionales, entonces obtenemos una dinámica en los puntos racionales. En esta charla veremos una introducción a problemas aritméticos relacionados a dicha dinámica y daremos una idea de los métodos utilizados en su estudio.
2020-11-06
14:00hrs.
Matías Bruna. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de Mason y su relación con la conjetura abc
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Comenzaremos presentando la conjetura abc y cuáles serían algunas de sus consecuencias (en caso de ser cierta). Luego demostraremos el teorema de Mason, el cual es el análogo de la conjetura abc para polinomios en k[t], demostraremos algunas de sus consecuencias, y discutiremos cómo éste hace que no sea "tan fácil" refutar la abc.
2020-10-30
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
Una cota superior para el rango análitico de una curva elíptica
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Asociada a una curva curva elíptica tenemos una L-función L(E,s). Una conjetura famosa (Birch-Swinnerton-Dyer conjecture) sobre curvas elípticas definidas sobre los racionales, establece que el orden del cero en s=1 de L(E,s) (a lo que llamamos el rango analítico de la curva elíptica E) es igual al rango (como grupo abeliano) de los puntos  racionales de la curva E. Es entonces importante tener control del rango análitico en términos de invariantes de la curva elíptica que sean calculables, al menos en ciertos casos.
 
Nuestro objetivo es demostrar que dado un morfismo f de X a la curva elíptica E, donde X es una curva de un tipo específico, el cuál definiremos también en la charla, podemos acotar el rango analítico de E por el cardinal de un conjunto de puntos especiales de E asociados a f.
2020-10-23
14:00hrs.
Javier Reyes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Ecuación de Markov
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Se introducirá la ecuación de Markov y la estructura de sus soluciones. También se presentará la conjetura de unicidad de números de Markov y una demostración para un caso particular.
2020-10-16
14:00hrs.
Patricio Pérez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Recurrencias lineales y el Teorema de Skolem-Mahler-Lech
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
El Teorema de Skolem-Mahler-Lech postula que dada una sucesión determinada por una recurrencia lineal, el conjunto de índices donde esta sucesión es nula puede descomponerse en la unión de un conjunto finito y finitas progresiones aritméticas. En esta charla visitaremos una demostración de este resultado basada en técnicas del análisis p-ádico, por ejemplo estudiando qué es y qué propiedades tiene una función analítica en este contexto.
2020-10-09
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontifica Universidad Católica de Chile
Progresiones aritméticas de cuadrados
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Los números 1,25,49 forman una progresión aritmética de cuadrados enteros. Podríamos amplificar por un factor cuadrado para obtener más ejemplos, pero ¿hay otros ejemplos realmente distintos? ¿hay infinitos? ¿cuáles son todos? ¿hay progresiones aritméticas de 4 cuadrados enteros? ¿y qué pasa con progresiones aritméticas de cubos? Todas estas preguntas serán respondidas con un método cuyos orígenes se remontan al menos a los trabajos de Diofanto hace unos 1800 años.
2020-10-02
14:00hrs.
Sebastián Rahausen. Pontificia Universidad Católica de Chile
Un método para la conjetura de Manin-Mumford
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
La conjetura de Manin-Mumford afirma que la intersección de una curva de género mayor o igual a 2 con el subgrupo de torsión de su Jacobiano es un conjunto finito. Surgió en los 1960s. Se han obtenido varias demostraciones de ella, la primera en 1983 por Raynaud. En esta charla veremos una demostración de esta conjetura obtenida por Pila-Zannier en 2008. Esta se basa en comparar cotas superiores para la cantidad de puntos racionales en superficies analíticas reales trascendentales (Bombieri-Pila-Wilkie) y cotas inferiores para grados de puntos de torsión (Masser).