Seminario de Análisis y Geometría

Las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones en derivadas parciales, definidas sobre variedades suaves en cuatro dimensiones, con un profundo significado geométrico. Las propiedades de las soluciones de estas ecuaciones, sobre variedades compactas, han sido  analizadas desde los años sesenta y han arrojado resultados importantes tanto en matemáticas como en física. Las soluciones sobre  variedades no compactas no han sido estudiadas tan ampliamente y aún hay muchas preguntas importantes sin respuesta. En esta charla, basada en resultados obtenidos en colaboración con Sergey Cherkis y Mark Stern, explicaré diversas propiedades de ciertas  soluciones a las ecuaciones de Yang-Mills, definidas sobre unas variedades abiertas especiales llamadas Espacios Taub-NUT. En particular, explicaré dos argumentos distintos para probar un teorema de índice necesario en la construcción.

 

 

En esta presentación discutiré el problema de encontrar funciones p-armónicas en el semi-espacio superior con condiciones de Neumann en el borde de tipo no lineal y con medidas. Para ello introduciré el concepto de soluciones renormalizadas en dominios acotados y explicaré como usar esta teoría para obtener soluciones de nuestro problema. La idea principal es usar estabilidad local y la simetría del dominio (y el operador). Luego aplicaremos estas ideas para obtener resultados de existencia para diferentes tipos de no linealidades. Las técnicas a utilizar también nos permitirán establecer algunos resultados de no existencia y de eliminación de singularidades.

 

 Después vamos a ver cómo las mismas técnicas se pueden tal vez transferir a problemas combinatorios en unos grafos periódicos, y permiten predicir la forma de unos cristales.

 

 

In this talk we will present the constructions of solution of the following reduced non-linear Schrodinger equation: -u''+V(x)h'(|u|^2)u = w u, where V(x)=1 for |x|<1 and 0 otherwise, and where h' is any continuous

Uno de los problemas fundamentales en geometría diferencial es estudiar las superficies con curvatura media constante (CMC) en diversas variedades Riemannianas. Conocer bajo que condiciones topológicas u otras estas existen, son únicas o son soluciones del problema isoperimetrico. Por ejemplo, la clasificación de superficies compactas y embedidas con curvatura media constante en Rn ha sido completamente estudiada por Alexandrov, pero si cambiamos el espacio ambiente o bien, consideramos superficies no necesariamente compactas o embedidas, el panorama cambia completamente.

En esta charla describire algunos resultados recientes sobre la existencia de superficies con CMC en espacios tales como Schwarzschild, anti deSitter o variedades no compactas que sean asintoticamente planas o hiperbólicas. Finalmente, discutiremos un caso hiperbolico particular, variedades asintóticas a cúspides. Este es un trabajo conjunto con Claudio Arezzo.

A fundamental important and open problem in the Calculus of Variations is the one of identifying classes of functionals for which everywhere H ?older regularity, or even just continuity, of minimizers occurs. The same problem arises for solutions to systems. So far, the only structure preventing the formation of singularities for minimizers is the one first identified in the fundamental work of K. Uhlenbeck in the 70’s. It prescribes that the dependence of the gradient must occur directly via the modulus |Du|, which makes, in a sense, the functional “less anisotropic” and rules out singularities of minima. The dependance of the gradient was of polynomial type.

 

Coming to a general vectorial case, partial regularity comes into play. Partial regularity asserts the pointwise regularity of solutions/minimizers, in an open subset whose complement is negligible. The proof of partial regularity compares the original solution u in a ball with the solution h in the same ball of the linearized elliptic system with constant coefficients. The comparison map h is smooth, and enjoys good a-priori estimates. The idea is to establish conditions in order to let u inherit the regularity estimates of h; for example, u and h should be close enough to each other in some integral sense. This is achieved if the original system is “close enough” to the linearized one. Such a linearization idea finds its origins in Geometric Measure Theory, and more precisely in the pioneering work of De Giorgi on minimal surfaces, and of Almgren for minimizing varifolds, and was first implemented by Morrey and Giusti & Miranda for the case of quasilinear systems. Hildebrandt & Kaul & Widman studied partial regularity in the setting of harmonic mappings and related elliptic systems. Another technique is  the “A-approximation method”, once again first introduced in the setting of Geometric Measure Theory by Duzaar & Steffen and applied to partial regularity for elliptic systems and functionals by Duzaar & Grotowski. This method re-exploits the original ideas that De Giorgi introduced in his treatment of minimal surfaces. The linearization is implemented via a suitable variant, for systems with constant coefficients, of the classical “Harmonic approximation lemma” of De Giorgi.

 

Our revisitation of this approximation is based on Lipschitz approximation of Sobolev functions that was first introduced by Acerbi & Fusco and then revisited by Diening, Malék and Steinhauer1

 

I will present some variants of this method and applications to regularity for degenerate systems of general growth. I will present also a refinement of the method of Parabolic Lipschitz truncation due to Kinnunen and Lewis, based on a suitable Lipschitz truncation adapted to the parabolic setting. This new approach preserves boundary data and is used to prove the p-caloric approximation. It is the generalization to the parabolic setting of De Giorgi approximation regularity method.