Seminario de Geometría Algebraica

Uno de los objetivos de la geometría algebraica es la clasificación de variedades proyectivas. En dimension 1, existe una clara distinción entre los tipos de curvas de género 0, 1 y mayor o igual a 2, tanto de un punto de vista topológico (revestimiento universal), de la curvatura y, más algebraicamente, de acuerdo a la negatividad, trivialidad o positividad de su clase canónica. En esta charla, discutiremos sobre cómo el Minimal Model Program (MMP) permite conjeturalmente asociar a toda variedad algebraica un "modelo minimal" y reducir el problema de clasificación a estudiar tres grandes familias: variedades de Fano (canónico negativo), Calabi-Yau (canónico trivial) y canónicamente polarizadas (canónico positivo). En este marco, la existencia de una cantidad finita de familias (acotamiento) es crucial para poder esperar obtener clasificaciones explícitas, y unos de los primeros grandes pasos en esta dirección son los resultados de acotamiento de variedades de Fano y canónicamente polarizadas obtenidos por Alexeev en el caso de superficies (medianamente singulares). Dichos resultados han sido generalizados recientemente a dimensiones superiores por Birkar en el caso de variedades de Fano (gracias a lo cual ha obtenido la medalla Fields) y por Hacon-McKernan-Xu en el caso canónicamente polarizado. El objetivo de este seminario será entender el lenguaje y técnicas del MMP en el caso de superficies singulares así como el rol de la "teoría de complementos", introducida por Shokurov y utilizada por Birkar para extender los resultados de Alexeev.

 

El plan preliminar de las charlas podría ser entonces el siguiente (también, modificar a gusto):

1. Introducción al Minimal Model Program y acotamiento (Pedro)

2. MMP para superficies suaves (Pedro)

3. Log MMP para superficies.

4. Singularidades ADE

5. Propiedades de pares logarítmicos

6. Clasificación de pares log canónicos en dimensión 2

7. Adjunción y Lema de Conectividad

En 2003, Bugeaud, Corvaja y Zannier utilizaron el teorema del subespacio para dar cotas para el GCD de dos números de la forma a^n - 1. En esta charla vamos a explicar la demostración y el contexto de este teorema.