Seminario de Geometría Algebraica

Seminario de Geometría Algebraica
2018-03-16
10:30 y 14:30hrs.
Giancarlo Lucchini. U de Chile
Obstrucciones al principio de Hasse en superficies II y III
sala 5
Abstract:
En estas charlas el plan es seguir las notas de un curso de Bianca Viray sobre "Puntos Racionales en Superficies", en el cual se presenta la noción de principio de Hasse (o principio local-global) y las obstrucciones de Brauer-Manin y Brauer-Manin étale que van asociadas. Para esto tendremos que introducir la noción de grupo de Brauer de un esquema. Luego veremos cuales son las diversas conjeturas y resultados en estos temas para superficies. Si el tiempo lo permite, analizaremos en detalle un resultado de Viray y sus colaboradores que se encuentra al final de sus notas.
 
2018-03-16
9:00 y 13:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
¿ Desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau aritmética ? II y III
sala 5
Abstract:
En el contexto de las superficies algebraicas complejas, la desigualdad de BMY es un Teorema profundo que relaciona números de intersección asociados a las clases de Chern. Si se cambia el cuerpo base por uno de característica positiva, la desigualdad ya no vale.
 
En el contexto de las superficies aritméticas, donde la intersección de clases debe considerarse en el sentido de la teoría de Arakelov, se ignora si es cierto un análogo de BMY. En los 80s, Parshin propuso una desigualdad conjetura en este contexto. Tal desigualdad tendría fuertes consecuencias, en particular en teoría de números (e.g. la conjetura abc). Hoy en día no hay evidencia hacia la conjetura de Parshin.
 
Intentaré explicar ideas básicas de Teoría de Arakelov, la conjetura de Parshin,  así como algunas consecuencias en teoría de números. La idea es aprovechar que hoy en día se sabe mucho más sobre BMY que en los 80s y parece ser un buen momento para volver a pensar en este tópico.
2018-03-15
16:00hrs.
Giancarlo Lucchini. U de Chile
Obstrucciones al principio de Hasse en superficies I
sala 2
Abstract:
En estas charlas el plan es seguir las notas de un curso de Bianca Viray sobre "Puntos Racionales en Superficies", en el cual se presenta la noción de principio de Hasse (o principio local-global) y las obstrucciones de Brauer-Manin y Brauer-Manin étale que van asociadas. Para esto tendremos que introducir la noción de grupo de Brauer de un esquema. Luego veremos cuales son las diversas conjeturas y resultados en estos temas para superficies. Si el tiempo lo permite, analizaremos en detalle un resultado de Viray y sus colaboradores que se encuentra al final de sus notas.
 
2018-03-15
14:00hrs.
Ricardo Merares . PUC Chile
¿ Desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau aritmética ? I
sala 2
Abstract:
En el contexto de las superficies algebraicas complejas, la desigualdad de BMY es un Teorema profundo que relaciona números de intersección asociados a las clases de Chern. Si se cambia el cuerpo base por uno de característica positiva, la desigualdad ya no vale.
 
En el contexto de las superficies aritméticas, donde la intersección de clases debe considerarse en el sentido de la teoría de Arakelov, se ignora si es cierto un análogo de BMY. En los 80s, Parshin propuso una desigualdad conjetura en este contexto. Tal desigualdad tendría fuertes consecuencias, en particular en teoría de números (e.g. la conjetura abc). Hoy en día no hay evidencia hacia la conjetura de Parshin.
 
Intentaré explicar ideas básicas de Teoría de Arakelov, la conjetura de Parshin,  así como algunas consecuencias en teoría de números. La idea es aprovechar que hoy en día se sabe mucho más sobre BMY que en los 80s y parece ser un buen momento para volver a pensar en este tópico.
2018-03-08
14:00hrs.
Bruno de Oliveira. University of Miami
Further results on hyperbolicity
sala 5
Abstract:
Continuation of themes from the previous lectures, Algebraic
hyperbolicity, hyperbolic hypersurfaces in P^3.
2018-03-07
14:00hrs.
Bruno de Oliveira. University of Miami
Curves on surfaces of general type
sala 5
Abstract:
The proof of Jouanolou theorem stating that a foliation with infinitely
many algebraic leaves on a projective manifold must be a fibration and the
proof of Bogomolov's theorem stating that if a surface of general type X
satisfies c_1^2>c_2, then X has only finitely many rational or elliptic
curves.
2018-03-06
14:00hrs.
Bruno de Oliveira. University of Miami
Ample cotangent bundle and hyperbolicity
sala 2
Abstract:
Introduction of several notions and examples about vector bundles, metrics and hyperbolicity. Proof of the result that a variety with ample cotangent is analytically hyperbolic.
2017-11-24
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Indecidibilidad, curvas elípticas y extensiones de cuerpos de números
Sala 2
Abstract:
En esta charla explicaremos de qué se trata el Décimo Problema de Hilbert (H10), el cual es un problema importante para indecidibilidad en teoría de números. Este problema fue resuelto para los enteros, y ahora los esfuerzos se concentran en resolverlo para otros anillos.
 
Nosotros nos enfocaremos en el caso de anillos de enteros de cuerpos de números. A partir de trabajos de Poonen y Shlapentokh, sabemos que para resolver H10 en un anillo de enteros O_K, basta mostrar que hay un subcampo F de K tal que O_F es indecidible y existe una curva elíptica E sobre F cuyo rango visto sobre F es positivo e igual a su rango sobre K. Con H. Pasten utilizamos estos resultados para encontrar nuevos ejemplos de anillos de enteros de cuerpos de funciones donde H10 es cierto.
2017-11-17
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Teoría de Nevanlinna y el diccionario de Vojta
sala 2
Abstract:
 Desde los años 80 se ha estudiado la relación entre la aproximación Diofantina (cuerpos de números) y la teoría de Nevanlinna (funciones meromorfas complejas). Matemáticos notaron analogías entre teoremas fundamentales entre estos dos temas, particularmente entre el Teorema de Roth y el Segundo Teorema Fundamental de Nevanlinna.

Vojta estudió esta relación y escribió un diccionario para traducir teoremas de un contexto al otro. Además estudió conjeturas en aproximación Diofantina y las tradujo para obtener conjeturas en teoría de Nevanlinna, con el objetivo de dar un contexto conceptualmente más amplio para entender estos problemas.

A partir de esto, aparecieron las Conjeturas de Vojta, que son conjeturas (análogas) para aproximación Diofantina, teoría de Nevanlinna y teoría de cuerpos de funciones, las cuales engloban muchos de los teoremas y conjeturas más importantes en estos contextos. Por ejemplo, para aproximación Diofantina se incluyen el Teorema de Siegel, el Teorema de Roth, el Teorema del subespacio de Schmidt, el Teorema de Faltings (también llamado conjetura de Mordell), la Conjetura de Bombieri-Lang, la Conjetura ABC, por nombrar algunos.

En esta charla explicaremos los aspectos básicos de teoría de Nevanlinna y el diccionario de Vojta.
2017-11-10
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Como encontrar todas las curvas omega-integrales
sala 2
Abstract:
Relacionaremos curvas omega-integrales con soluciones de ecuaciones diferenciales en series de potencias. Con esto, utilizando un resultado de existencia y unicidad para este contexto, veremos como se pueden encontrar todas las curvas omega-integrales en el plano afín, explicando el paso 2 del método.
2017-10-20
14:00-15:00hrs.
Natalia García. PUC Chile
Funtorialidades
Sala 2
Abstract:
Dado un morfismo dominante f:Y->X entre superficies suaves proyectivas, veremos la relación entre las curvas w-integrales en X y las curvas fºw-integrales en Y (esto es el paso 3 del método: las curvas en X son imagen de curvas de Y). La demostración consiste en aplicar propiedades funtoriales de los objetos involucrados.
2017-10-13
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
La superficie que parametriza los cuboides
Sala 2
Abstract:
Además de terminar el último detalle para demostrar el paso 4 del método para encontrar curvas de género bajo en superficies, estudiaremos en más detalle la superficie que parametriza los cuboides (la superficie relacionada con el problema de las diagonales de Euler, o el problema del cuboide perfecto, etc). En particular, veremos de qué manera afecta al método el hecho que esta superficie tenga 48 singularidades, y qué tipo de resultados sobre curvas en esta superficie si se logran obtener.
2017-10-06
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
La relación entre curvas de género bajo y curvas omega-integrales
sala 2
Abstract:
Comenzaremos a estudiar en más detalle el método que vimos para encontrar (en algunos casos) las curvas de género bajo en superficies. Comenzaremos explicando como funciona el último paso, para entender como se relacionan exactamente las curvas de género bajo con la omega-integralidad, así como también entender la mejora que se puede hacer cuando la ramificación consiste de curvas omega-integrales.
2017-09-29
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
El problema de los N cuadrados (parte 2)
sala 2
Abstract:
Terminaremos de estudiar el problema de los N cuadrados, para lo cual solo nos falta el último paso. Después de esto, veremos posibles tipos de problemas que pueden ser estudiados con este método, con la idea de poder aplicar a futuro este método a otros problemas de teoría de números (de recurrencias, distancias racionales, valores especiales de polinomios, entre otros) y de geometría algebraica (diversos problemas sobre curvas en superficies).
 
El pdf de la charla anterior 

http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2017-09-22
14:30hrs.
Natalia García . PUC Chile
El problema de los N cuadrados
Sala 2
Abstract:
El Problema de los N cuadrados (o Problema de Büchi) pregunta por el largo máximo de una sucesión de números enteros cuyos cuadrados tienen segundas diferencias iguales a dos. El largo máximo conocido de un ejemplo de estas sucesiones es cuatro.

En 2000, Paul Vojta estudio las curvas de género cero o uno de las superficies relacionadas a este problema, resolviendo este problema bajo la conjetura de Bombieri-Lang (es decir, que no puede haber sucesiones de este tipo de largo 8), y también su análogo para cuerpos de funciones de manera incondicional. El método para encontrar curvas de género bajo en una superficie que estamos estudiando en este seminario es inspirado en este trabajo de Vojta.

En esta charla, mostraremos con más detalles el sketch del método para encontrar todas las curvas de género bajo en una superficie, y estudiaremos como se aplica, paso a paso, al ejemplo del Problema de los N cuadrados (utilizaremos la noción de curva omega-integral, pero casi nada de teoría de haces). Si el tiempo lo permite, veremos que clase de hipótesis necesita un sistema de ecuaciones Diofantino para que éste método se pueda aplicar, con la idea de poder aplicar a futuro este método a otros problemas de teoría de números.
http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2017-09-15
13:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Curvas omega-integrales
sala 2
Abstract:
En esta charla, vamos a definir lo que son las curvas omega-integrales. Estas curvas son fundamentales en el método para encontrar todas las curvas de género bajo en una superficie, y se pueden ver como un análogo algebraico de las curvas integrales de una ecuación diferencial.

Al comienzo, explicaremos las nociones necesarias de geometría algebraica para definir estas curvas, daremos la definición, y si el tiempo lo permite mostraremos un sketch del método para encontrar las curvas de género bajo en superficies.
2017-09-15
15:00hrs.
Eduardo Oregón. PUC Chile
Nilpotencia y Cociclos de Matrices
sala 2
Abstract:
El Teorema de Caley-Hamilton nos dice que toda matriz satisface su propio polinomio característico. Esta restricción algebraica codifica información dinámica del proceso de iterar una matriz. En esta charla, obtendremos una restriccion algebraica similar, válida para un cociclo de matrices arbitrario. La herramienta fundamental para esto será Nullstellensatz, que nos permitirá convertir una propiedad de nilpotencia en identidades polinomiales.
2017-09-08
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Aplicaciones aritméticas y geométricas de encontrar todas las curvas de género bajo en superficies
Sala 2
Abstract:
Ahora que tenemos más conceptos de la geometría algebraica, vamos a ver en más detalle como se conecta el encontrar curvas de género bajo con resultados aritméticos. Veremos como el encontrar todas las curvas de género bajo de una superficie definida por un sistema de ecuaciones Diofantinas, nos permite:

- Describir todas salvo finitas soluciones del sistema sobre cuerpos de números, bajo la conjetura de Bombieri-Lang. Esto es en el caso que la superficie sea de tipo general;
- Dar todas las soluciones del sistema sobre cuerpos de funciones (por ejemplo polinomios, funciones racionales). Esto es incondicional y no necesita tipo general.

También veremos aplicaciones geométricas, como:

- Encontrar nuevos ejemplos de superficies con finitas curvas de género cero o uno, que no satisfacen los criterios propuestos por Bogomolov para que esto ocurra.
- Encontrar nuevos ejemplos de superficies Brody-hiperbólicas.

El próximo viernes creo que ya estaremos en condiciones para explicar la noción fundamental que se necesita para encontrar todas las curvas de género bajo en una superficie, y empezar a explicar a grandes rasgos el método.
2017-09-01
14:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Construcción de Cubrimientos de Variedades
sala 2
2017-08-28
16:00hrs.
Mikhail Borovoi. Tel Aviv University
Cayley groups
sala 1, Facultad de Matemáticas
Abstract:
I will start the talk with the definition of the special orthogonal group SO(n) and with the classical "Cayley transform" for SO(n) constructed by Arthur Cayley in 1846. A connected linear algebraic group G over C is called a *Cayley group* if it admits a *Cayley map*, that is, a G-equivariant birational isomorphism between the group variety G and its Lie algebra Lie(G). For example, SO(n) is a Cayley group.  A linear algebraic group G is called *stably Cayley* if G x (C^*)^r is Cayley for some natural number r. I will consider semisimple algebraic groups, in particular, simple algebraic groups. I will describe classification of Cayley simple groups and of stably Cayley semisimple groups. (Based on joint works with Boris Kunyavskii and others.)