Seminario de Sistemas Dinámicos

En 1991, Ittai Kan propuso una estrategia para probar que el difeomorfismo $K\colon \mathbb T^2 \times [0,1] \to \mathbb T^2 \times [0,1]$ definido por

tiene exactamente dos medidas físicas cuyas bacías se entremezclan, es decir, todo conjunto abierto del espacio ambiente posee un conjunto de Lebesgue positivo de puntos pertenecientes a la bacía de cada una de las medidas físicas.

 

En difeomorfismos, la hiperbolicidad estable de las órbitas periódicas en la topología C^1 es equivalente a la hiperbolicidad/ estabilidad en el conjunto de las órbitas recurrentes. Esto permite entender la dinámica de un sistema a través del comportamiento de sus órbitas periódicas. Para flujos con singularidades, obtener una estructura hiperbólica o parcialmente hiperbólica ha demostrado ser más difícil y aún no está completamente cerrado aún, a pesar de numerosísimas contribuciones. En esta charla daremos un panorama sobre las estructuras hiperbólicas o parcialmente hiperbólicas para estos flujos. En particular mostraremos que hay un tipo de estructura parcialmente hiperbólica que es equivalente con la hiperbolicidad estable de órbitas periódicas en dimensión baja. Además mostraremos que en dimensión alta esta podría no cumplirse con un ejemplo frágil. Estos trabajos son en colaboración con Tamblay y Bohorquez.

El espectro de Lagrange L y el espectro de Markov M son fractales en la recta real relacionados con propiedades diofánticas de los números irracionales o de formas cuadráticas indefinidas. Estos conjuntos han sido estudiados desde los trabajos fundamentales de Markov a finales del siglo XIX.

 

En 2018, Moreira mostró que las dimensiones de Hausdorff dim(L ∩ (-∞, t)) y dim(M ∩ (-∞, t)) son iguales. Tomando d(t) = dim(L ∩ (-∞, t)) = dim(M ∩ (-∞, t)), se sabe que d(t) = 0 para t ≤ 3, y Moreira también mostró que d(t) > 0 para todo t > 3. En esta charla, discutiremos cómo d(t) se ve cerca de t = 3 y, en particular, mostraremos que d(3 + exp(-r)) se comporta aproximadamente como log(r)/r para r > 0 suficientemente grande. Para esto, usaremos que estos conjuntos están estrechamente relacionados con los conjuntos de Cantor dinámicamente definidos.

 

Este es un trabajo en conjunto con Harold Erazo, Carlos Gustavo Moreira y Sergio Romaña.

En esta charla discutiremos el concepto de distorsión en grupos. Un elemento de un grupo finitamente generado se dice distorsionado si la métrica de la palabra de sus potencias crece sublineal. Comenzaremos dando una breve introducción, dando un par de ejemplos y luego daremos un par de aplicaciones. Terminaremos planteando y discutiendo una pregunta propuesta por Andrés Navas.

We study conjugacy classes of germs of non-flat diffeomorphisms of the real line fixing the origin. Based on the work of Takens and Yoccoz, we establish results that are sharp in terms of differentiability classes and order of tangency to the identity. The core of all of this lies in the invariance of residues under low-regular conjugacies. This may be seen as an extension of the fact (also proved in this article) that the value of the Schwarzian derivative at the origin for germs of  parabolic diffeomorphisms is invariant under  parabolic conjugacy, though it may vary arbitrarily under parabolic  conjugacy.

Amorphic complexity, originally introduced for integer actions, is a topological invariant which measures the complexity of dynamical systems in the regime of zero entropy. We will introduce its definition for actions by locally compact sigma-compact amenable groups on compact metric spaces. Further, we will illustrate some of its basic properties and show why it is tailor-made to study strictly ergodic group actions with discrete spectrum and continuous eigenfunctions. This class of actions includes, in particular, Delone dynamical systems related to regular model sets obtained via cut and project schemes (CPS). If time permits, we will present sharp upper bounds on amorphic complexity for this kind of Delone dynamical systems utilizing basic properties of the corresponding CPS.