Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.

Página web: https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html

2018-10-02
15:30hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de Chevalley-Warning
Sala 5
Abstract:
El teorema de Chevalley-Warning nos da valiosa información sobre soluciones de congruencias y puntos en variedades algebraicas sobre cuerpos finitos. En esta charla presentaremos su demostración, y algunas aplicaciones aritméticas y geométricas.
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2018-09-25
15:30hrs.
Eliezer Fuentes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Conteo de números y técnicas de cribado
Sala 5
Abstract:
Comenzaremos con motivaciones para el estudio de cribas, para luego introducir conceptos básicos en teoría de cribas. Después de ello se demostrará una cota que nos da la criba de Gallagher (the larger sieve); para finalmente terminar dando algunas aplicaciones de este resultado.
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2018-09-13
15:30hrs.
Ricardo Menares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Persiguiendo ceros de polinomios
Sala 2 (notar que por esta semana es el día jueves)
Abstract:
Esta es una charla dirigida principalmente a estudiantes en la que presentare el problema de Lehmer y lo utilizare como motivacion para considerar otros problemas, algunos de los cuales pueden ser proyectos de tesis. El tema general es determinar la distribucion asintotica de las raices de familias de polinomios con coeficientes enteros. El caso prototipico es la familia de polinomios 
$x^n - 1$, cuyas raices se situan sobre el circulo unitario formando los vertices de un poligono regular de $n$ lados. Cuando $n$ tiende a infinito, estas se equidistribuyen siguiendo la medida uniforme sobre el circulo (c.f. metodos antiguos para aproximar $\pi$). 
 
No se entiende aun a cabalidad que caracteristicas tienen las medidas sobre el plano complejo que gobiernan la distribucion de las raices de familias de polinomios con interes aritmetico. Presentare algunos ejemplos y resultados parciales, pero sobre todo preguntas.

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2018-09-04
15:30hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos a distancias racionales en el plano
Sala 5
Abstract:
Considere un conjunto S infinito de puntos en el plano euclideano. Si la distancia entre cada par de puntos de S es un número entero, entonces el teorema de Erdös-Anning nos dice que S está contenido en una recta.
Por otro lado, si solamente sabemos que las distancias mutuas en S son números racionales, entonces una conjetura de Ulam y Erdös predice que S no puede ser denso en el plano. Voy a explicar estos problemas y los avances que hay al respecto.

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2018-08-28
15:30hrs.
Damaris Schindler. Utrecht University
On the Hasse principle for integral points
SALA 2 (Notar cambio de sala, sólo por esta semana)
Abstract:
In this talk we discuss some aspects of the local-global principle for integral points. In particular we will see concrete examples of Brauer classes obstructing the Hasse principle and discuss obstructions to the local-global principle in more general. Some of our focus will then be on the case of systems of two (inhomogeneous) quadratic equations.
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2018-08-21
15:30hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Introducción al principio local-global
Sala 5
Abstract:
Una forma de probar que una ecuación diofantina no tiene soluciones enteras es ver que por motivos de signo no tiene soluciones reales, o bien chequear a mano que no tiene solución módulo N para algun N bien elegido. Uno puede preguntarse que tan potente es este método, y la respuesta depende del tipo de ecuación diofantina. En esta charla vamos a ver algunas familias de ecuaciones diofantinas donde este método siempre da la respuesta correcta, y algunos ejemplos donde no funciona.
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2018-08-14
15:30hrs.
Luciano Sciaraffia. Pontificia Universidad Católica de Chile
Una introducción a los números p-ádicos
Sala 5
Abstract:
Los números p-ádicos desempeñan un rol central en la Teoría de números a través del principio local-global. Es así que en esta sesión introduciremos las nociones que acompañan a los números p-ádicos. Comenzaremos con las nociones básicas de valuaciones y valores absolutos sobre cuerpos y completaciones, para luego construir el cuerpo de los números p-ádicos. Veremos algunas propiedades básicas topológicas y algebraicas del anillo de enteros p-ádicos y culminamos la charla con el lema de Hensel y distintos ejemplos que ilustran el uso de los números p-ádicos en Teoría de números.
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2018-08-07
15:30hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Aplicaciones de la Teoría de Números en Criptografía
Sala 5 (notar cambio de sala)
Abstract:

Calcular el logaritmo de un número entero módulo $m$ es muy difícil e ineficiente de hacer. Esta operación aritmética se llama el Problema del Logaritmo Discreto.
En esta charla veremos como la dificultad para resolver el problema del logaritmo discreto nos permite enviar mensajes secretos por un medio público. Mostraremos ejemplos de sistemas de encriptación que utilizan este principio y, si el tiempo lo permite, estudiaremos el uso de curvas elípticas en criptografía.


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2018-06-22
14:00hrs.
Matías Bruna. Pontificia Universidad Católica de Chile
El Teorema de Dirichlet en progresiones aritméticas
Sala 2
Abstract:
Comenzaremos definiendo caracteres en grupos abelianos finitos, demostraremos algunas propiedades de estos, y veremos como surgen los caracteres de Dirichlet, con los cuales demostraremos el teorema de Dirichlet. Finalmente, comentaremos algunas “generalizaciones” de este teorema.
2018-06-15
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Curvas modulares
Sala 2
Abstract:

Definiremos estas curvas a partir de los grupos que actúan en el semiplano superior (los grupos de congruencia). Veremos también la relación entre estas curvas y las formas modulares cuspidales, así como también su relación con curvas elípticas.

2018-06-01
14:00hrs.
Sebastián Muñoz. Pontificia Universidad Católica de Chile
Introducción a las formas modulares
Sala 2
Abstract:
En primer lugar, revisaremos algunas propiedades de ciertos grupos que actúan en el semiplano superior. Luego, se dará la definición forma modular, junto con algunas variaciones. A continuación, daremos algunos ejemplos, y como aplicación, obtendremos una fórmula para contar la cantidad de formas en la que un número se puede escribir como suma de cuatro cuadrados.
2018-05-25
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Curvas elípticas e isogenias
Sala 2
Abstract:
La primera parte de esta charla será un resumen de la teoría de curvas elípticas donde las definiremos, hablaremos de su estructura de grupo, y de su estructura compleja. En la segunda parte, estudiaremos isogenias de curvas elípticas, que son funciones entre curvas elípticas con algunas propiedades. Las definiremos y veremos algunos teoremas que nos ayudarán a clasificar estas funciones.
A futuro (no este viernes), veremos como se relacionan las isogenias de curvas elípticas con las curvas modulares, y también con representaciones de Galois.
2018-05-18
14:00hrs.
Fernando Figueroa. Pontificia Universidad Católica de Chile
El Teorema de Minkowski
Sala 2
Abstract:
En esta charla vamos a partir viendo nociones y propiedades de reticulados, para poder enunciar y definir el Teorema de Minkowski; el cual relaciona el volumen de un cuerpo convexo simétrico con la cantidad mínima de puntos de un reticulado que puede tener.
Este teorema fue el inicio del área de teoría de números que se conoce como Geometría de los números.
Terminaremos mostrando algunas aplicaciones.
2018-05-11
14:00hrs.
Oscar Chacón. Pontificia Universidad Católica de Chile
La hipótesis de Riemann y la distribución de números primos
Sala 2
Abstract:
En 1859, Riemann publicó su único paper sobre teoría de números, "On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude". En este, Riemann extiende una función (estudiada anteriormente por Euler en los reales) a una función de variable compleja, ahora conocida como "función zeta de Riemann", probando algunas de sus propiedades. Además, presenta una conjetura que hoy llamamos "hipótesis de Riemann", enlazando la teoría de números y el análisis complejo, y brindando herramientas esenciales para la teoría analítica de números. En esta charla, estudiaremos con más detalle la función zeta de Riemann, y mostraremos la relación de la hipótesis de Riemann con la distribución de los números primos.
2018-05-04
14:30hrs.
Héctor Pastén. Harvard University
Funciones L
Sala 2
Abstract:
(COMENZAMOS A LAS 14:30 POR EL DÍA DE LA FACULTAD)
Las funciones L son el objeto central de gran parte de la teoría de números moderna. Nacidas en los trabajos de Euler, lograron un lugar importante de la mano de Dirichlet y Riemann. Hoy en día, a las funciones L se les culpa de muchas cosas: de ser la encarnación de los Motivos de Grothendieck, de saber los rangos de grupos de Mordell-Weil, de conocer todas las representaciones de Galois, de ser un nexo entre el mundo de las formas automorfas y la geometría aritmética, entre otras varias acusaciones de similar calibre. En esta charla introductoria explicaremos algunos aspectos de la teoría, con énfasis en aplicaciones y problemas abiertos.
2018-04-20
14:00hrs.
Nicolás Vilches. Pontificia Universidad Católica de Chile
Trascendencia y Schneider-Lang
Sala 2
Abstract:
En la presente charla vamos a presentar un teorema debido a Lang (basado en ideas anteriores de Schneider) que relaciona funciones meromorfas que tienen relaciones diferenciales, con la cantidad de valores complejos para los que caen sobre un cuerpo de números. Veremos también cómo puede utilizarse para demostrar trascendencia de números, y probaremos resultados clásicos como que $\pi$, $e$ son trascendentales, y el séptimo problema de Hilbert. 
2018-04-13
14:00hrs.
Pedro Mendoza. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
Sala 2
Abstract:
En esta charla se presentará la demostración de este teorema clásico de la teoría de números, además de comentar nuevas demostraciones que han ido apareciendo a lo largo del tiempo. Se hablará también sobre algunas generalizaciones de este teorema, en especial sobre el problema de Waring. Además, se hará un breve resumen sobre las conjeturas/problemas abiertos relacionados con el tema.
2018-04-06
14:00hrs.
Ignacio Barros. Humboldt-Universität Zu Berlin
Geometría birracional de espacios de moduli
Sala 2
Abstract:
La charla va a estar enfocada a estudiantes. Veremos ejemplos, un poco de historia y la principales preguntas que guían la investigación hoy en dia. El foco estará en moduli de curvas y superficies K3.
2018-03-23
14:00hrs.
Eduardo Oregón. Pontificia Universidad Católica de Chile
La conjetura ABC
Sala 2
Abstract:
Este es uno de los problemas abiertos más importantes de la teoría de números (y de la matemática en general), que a grandes rasgos relaciona las estructuras aditiva y multiplicativa de los números enteros. En esta charla, se mostrará cómo esta conjetura implica otros problemas célebres del área, como son el último Teorema de Fermat y la infinitud de los primos de Wieferich. Además, se hará un breve resumen de los resultados que se saben hasta el momento.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2018-03-09
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de van der Waerden
Sala 2
Abstract:
Comenzaremos este seminario explicando un poco sobre la teoría de Ramsey, de la cual Terence Tao habló cuando visitó la PUC. La teoría de Ramsey es parte de la combinatoria, pero aplicada a teoría de números uno puede obtener resultados sobre que clase de subconjuntos infinitos de números enteros contienen progresiones aritméticas largas. 

En esta charla explicaremos el teorema de van der Waerden, que es uno de los teoremas principales del área, y dice que si uno elige una cantidad finita de colores para pintar los números enteros, entonces existen progresiones aritméticas monocromáticas de cualquier longitud.